Qual é a variação da energia interna (em Joules) observada em 2,8 mols de um gás ideal diatômico quando esse, inicialmente à temperatura ambiente, aumenta sua temperatura em 47^{\circ} \mathrm{C}, à pressão constante? Considere \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} /(\mathrm{K} . \mathrm{mol}) . \mathrm{T}_{\mathrm{k}}=\mathrm{T}_{\mathrm{c}}+273,15. Dê a resposta como numero inteiro.
Resposta:
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Passo 1

O enunciado pede a variação da energia interna quando um gás ideal diatômico sofre aumento de temperatura. Dados fornecidos:
n=2{,}8\\ \mathrm{mol}
\Delta T=47^\circ\mathrm{C}
R=8{,}314\\ \mathrm{J/(K\cdot mol)}
Também é indicada a relação de temperatura \mathrm{T_k}=\mathrm{T_c}+273{,}15 (útil para transformar temperaturas absolutas). A pressão é constante, mas o que precisamos achar é \Delta U em Joules.

Passo 2

Fórmula fundamental que vamos usar: para um gás ideal a variação da energia interna depende só da variação de temperatura e é dada por
\Delta U = n\,c_V\,\Delta T,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna (em Joules),
  • n é a quantidade de mols (em mol),
  • c_V é a capacidade térmica molar a volume constante (em \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em K).
    Explicação curta: para gás ideal a energia interna total é soma da energia cinética das DOF (graus de liberdade) das moléculas; mudanças de energia interna vêm apenas de mudança de temperatura, independente do caminho (isobárico, isotérmico etc.).

Passo 3

Precisamos do valor de c_V para um gás diatômico. Pelo princípio da equipartição de energia, cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}R para a capacidade molar em volume constante. Um gás diatômico (em temperaturas comuns, sem excitar modos vibracionais) tem os seguintes graus de liberdade:
  • 3 translação,
  • 2 rotação (ao redor de dois eixos perpendiculares ao eixo da molécula).
    Total f=5. Portanto
c_V = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R.
Isto significa que, numericamente,
c_V = \frac{5}{2}\cdot 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 4

Calculemos c_V numericamente. Primeiro \tfrac{5}{2}=2{,}5, então
c_V = 2{,}5\cdot 8{,}314 = 20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Agora observação sobre \Delta T: uma variação de 47^\circ\mathrm{C} corresponde exatamente a \Delta T=47\\ \mathrm{K}, pois diferenças de temperatura em Celsius e Kelvin são iguais.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula \Delta U = n\,c_V\,\Delta T. Substituindo os valores:
\Delta U = 2{,}8\cdot 20{,}785\cdot 47.
Faço a multiplicação por etapas para você poder reproduzir na prova sem calculadora:
20{,}785\cdot 47 = 20{,}785\cdot(40+7)=20{,}785\cdot 40 + 20{,}785\cdot 7.
20{,}785\cdot 40 = 831{,}4
20{,}785\cdot 7 = 145{,}495
20{,}785\cdot 47 = 831{,}4 + 145{,}495 = 976{,}895
Agora multiplico por n=2{,}8:
976{,}895\cdot 2{,}8 = 976{,}895\cdot(2+0{,}8)=976{,}895\cdot 2 + 976{,}895\cdot 0{,}8.
976{,}895\cdot 2 = 1\,953{,}79
976{,}895\cdot 0{,}8 = 781{,}516
\Delta U = 1\,953{,}79 + 781{,}516 = 2\,735{,}306\\ \mathrm{J}.
Arredondando para número inteiro (como pedido), obtemos \Delta U=2\,735\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Resumo didático rápido: use sempre \Delta U=n c_V \Delta T para gás ideal; determine c_V pelo número de graus de liberdade via equipartição (aqui c_V=\tfrac{5}{2}R para diatômico), converta variação de temperatura para Kelvin (mesmo valor numérico) e multiplique em etapas para evitar erros.

Resposta

2735\\ \mathrm{J}

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