Uma panela fechada com 2 L de água em seu interior, inicialmente a temperatura ambiente de 41^{\circ} \mathrm{F}, é aquecida no fogão até 203{ }^{\circ} \mathrm{F}. Considerando para água a densidade \rho=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, seu coeficiente de dilatação volumétrica 4 \times 10^{-4} / \mathrm{K} e calor específico 1 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}, calcule:
a) O volume presente na panela após o aquecimento (em L): \_\_\_\_ (1,0 pts)
b) A quantidade de calor (em calorias): \_\_\_\_ (1,0 pts)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o volume da água na panela após o aquecimento, em litros; (b) a quantidade de calor recebida pela água, em calorias. Os dados fornecidos são:
  • Volume inicial: \,V_0 = 2\\ \mathrm{L}.
  • Temperaturas: \,T_i = 41^\circ\mathrm{F} e \,T_f = 203^\circ\mathrm{F}.
  • Densidade da água: \,\rho = 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Coeficiente de dilatação volumétrica: \,\beta = 4\times 10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Calor específico: \,c = 1\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}.
Vou usar esses valores para (i) calcular a massa da água (a partir de \rho e V_0), (ii) converter as temperaturas de Fahrenheit para Celsius, (iii) usar a fórmula da dilatação volumétrica para achar o volume final e (iv) usar Q=mc\Delta T para achar o calor.

Passo 2

Converter o volume inicial para unidades do SI (metros cúbicos) para usar com a densidade:
V_0 = 2\\ \mathrm{L} = 2{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 3

Calcular a massa da água usando \,m=\rho V_0. Aqui explico a fórmula: \rho é massa por volume (kg por m³), multiplicando por volume obtém-se massa em kg. Então,
m = \rho V_0 = 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 2{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} = 2{,}0\\ \mathrm{kg}.
Como o calor específico dado está em \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}, convém passar a massa para gramas:
m = 2{,}0\\ \mathrm{kg} = 2000\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Converter as temperaturas de Fahrenheit para Celsius. Regra de conversão (explicando): para converter \,^\circ\mathrm{F} em \,^\circ\mathrm{C} usa-se
T(^{\circ}\mathrm{C}) = \frac{5}{9}\bigl(T(^{\circ}\mathrm{F})-32\bigr).
Aplicando:
T_i = \frac{5}{9}(41-32) = \frac{5}{9}\cdot 9 = 5^\circ\mathrm{C},
T_f = \frac{5}{9}(203-32) = \frac{5}{9}\cdot 171 = 95^\circ\mathrm{C}.
A variação de temperatura é
\Delta T = T_f - T_i = 95 - 5 = 90\\ ^\circ\mathrm{C}.
Observação didática: uma variação de temperatura em graus Celsius tem o mesmo valor numérico em kelvin, então \Delta T=90\\ \mathrm{K} também serve para fórmulas que exigem kelvin.

Passo 5

Calcular o volume final usando a fórmula da dilatação volumétrica. Explicando a fórmula: para um líquido cuja dilatação volumétrica é pequena e aproximadamente linear,
V = V_0\bigl(1+\beta\,\Delta T\bigr),
onde \,V é o volume final, \,V_0 o volume inicial, \,\beta o coeficiente volumétrico e \,\Delta T a variação de temperatura (em K ou °C). Substituindo:
V = 2{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}\bigl(1 + 4\times 10^{-4}\times 90\bigr).
Calcule o fator:
4\times 10^{-4}\times 90 = 0{,}0004\times 90 = 0{,}036.
Assim
V = 2{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}\times 1{,}036 = 2{,}072\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Converter de volta para litros (explicando: 1\\ \mathrm{L}=1\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}):
V = 2{,}072\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} = 2{,}072\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Verificação rápida: o aumento de volume foi pequeno (cerca de 3{,}6\%), o que faz sentido para a água num aquecimento moderado — a dilatação volumétrica é pequena. Valor final obtido:
V_{\text{final}} = 2{,}072\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Calcular a quantidade de calor necessária usando a fórmula básica do calor sensível. Explicando a fórmula: a energia térmica absorvida para elevar a temperatura de uma massa m de substância é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q é em calorias se m está em gramas e c em \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}. Substituindo os valores calculados:
Q = 2000\\ \mathrm{g}\times 1\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}\times 90\\ ^\circ\mathrm{C} = 180000\\ \mathrm{cal}.

Passo 8

Comentário final rápido e incentivo: pronto — fizemos as conversões de unidade com cuidado, usamos a fórmula de dilatação volumétrica e a fórmula do calor sensível passo a passo. Você já tem os números que geralmente caem na prova; respira fundo que está indo bem!

Resposta

a) 2{,}072\\ \mathrm{L}
b) 1{,}80\times 10^{5}\\ \mathrm{cal}

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