Um gás ideal sofre uma compressão adiabática no seu estado inicial com
e
para o estado final com
. Calcule,
A energia cinética translacional por mol antes e depois da compressão.
A energia cinética translacional por mol antes e depois da compressão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um gás ideal que passa por uma compressão adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. A gente tem as condições iniciais de pressão (
), volume (
) e temperatura (
), e as condições finais com pressão
e volume
. Nosso objetivo aqui é calcular a energia cinética translacional por mol do gás antes e depois da compressão. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre os gases ideais, processos adiabáticos e como a energia cinética se relaciona com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a energia cinética translacional por mol (
) está relacionada à temperatura através da fórmula:
Aqui,
é a constante dos gases ideais e
é a temperatura em Kelvin. Essa relação mostra que a energia cinética depende diretamente da temperatura do gás. Então, para encontrar a energia cinética antes e depois da compressão, precisamos primeiro descobrir as temperaturas nessas duas condições.
Passo 3
Como o processo é adiabático, podemos usar a relação para processos adiabáticos em gases ideais:
Onde
é o índice adiabático, que para diatômicos como o nitrogênio ou oxigênio (presentes no ar) é aproximadamente 1,4. Essa relação nos ajuda a encontrar a temperatura final (
) sabendo as condições iniciais e finais de pressão e volume.
Passo 4
Outra relação importante para processos adiabáticos é:
Podemos usar essa fórmula para relacionar as temperaturas e volumes inicial e final:
Queremos encontrar
, então vamos isolar ela na equação:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando
:
Calculando
:
Então:
Passo 6
Com as temperaturas inicial (
) e final (
) conhecidas, podemos calcular a energia cinética translacional por mol antes e depois da compressão usando a fórmula mencionada no Passo 2:
Antes da compressão:
Depois da compressão:
Resposta
A energia cinética translacional por mol antes da compressão é
, e depois da compressão é
. Ou seja, a energia cinética translacional aumenta aproximadamente 15,85 vezes após a compressão adiabática.