Um gás ideal sofre uma compressão adiabática no seu estado inicial com P0, V0 e T0 para o estado final com P0 times 10^5, V0 / 1000. Calcule,
A energia cinética translacional por mol antes e depois da compressão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um gás ideal que passa por uma compressão adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. A gente tem as condições iniciais de pressão ( P0), volume ( V0) e temperatura ( T0), e as condições finais com pressão Pf = P0 times 10^5 e volume Vf = V0 / 1000. Nosso objetivo aqui é calcular a energia cinética translacional por mol do gás antes e depois da compressão. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre os gases ideais, processos adiabáticos e como a energia cinética se relaciona com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a energia cinética translacional por mol ( Ecin) está relacionada à temperatura através da fórmula:
Ecin = 32 R T
Aqui, R é a constante dos gases ideais e T é a temperatura em Kelvin. Essa relação mostra que a energia cinética depende diretamente da temperatura do gás. Então, para encontrar a energia cinética antes e depois da compressão, precisamos primeiro descobrir as temperaturas nessas duas condições.

Passo 3

Como o processo é adiabático, podemos usar a relação para processos adiabáticos em gases ideais:
P V^gamma = constante
Onde gamma é o índice adiabático, que para diatômicos como o nitrogênio ou oxigênio (presentes no ar) é aproximadamente 1,4. Essa relação nos ajuda a encontrar a temperatura final ( Tf) sabendo as condições iniciais e finais de pressão e volume.

Passo 4

Outra relação importante para processos adiabáticos é:
T V^gamma - 1 = constante
Podemos usar essa fórmula para relacionar as temperaturas e volumes inicial e final:
T0 V0^gamma - 1 = Tf Vf^gamma - 1
Queremos encontrar Tf, então vamos isolar ela na equação:
Tf = T0 ( V0Vf )^gamma - 1
Sabemos que Vf = V0 / 1000, então substituindo:
Tf = T0 ( V0V0 / 1000 )^gamma - 1 = T0 (1000)^gamma - 1

Passo 5

Agora, vamos calcular Tf usando gamma = 1,4:
Tf = T0 (1000)^1,4 - 1 = T0 (1000)^0,4
Calculando 1000^0,4:
1000^0,4 = e^0,4 ln(1000) approx e^0,4 times 6,907755 approx e^2,7631 approx 15,85
Então:
Tf approx T0 times 15,85

Passo 6

Com as temperaturas inicial ( T0) e final ( Tf) conhecidas, podemos calcular a energia cinética translacional por mol antes e depois da compressão usando a fórmula mencionada no Passo 2:
Antes da compressão:
Ecin,0 = 32 R T0
Depois da compressão:
Ecin,f = 32 R Tf = 32 R (15,85 T0) = 15,85 times 32 R T0 = 15,85 times Ecin,0

Resposta

A energia cinética translacional por mol antes da compressão é Ecin,0 = 32 R T0, e depois da compressão é Ecin,f approx 15,85 times 32 R T0. Ou seja, a energia cinética translacional aumenta aproximadamente 15,85 vezes após a compressão adiabática.

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