Um gás ideal sofre uma compressão adiabática do estado inicial:
para o estado final
.
Determine a
(velocidade média) e
(velocidade mais provável) antes e depois da compressão.
Determine a
Passo 1
Beleza, mano, olha só o que a questão pede. A gente tem um gás ideal que sofre uma compressão adiabática do estado inicial (p₀=1,0 atm, V₀=1,0×10⁶ L, T₀=0 °C) até o estado final (p_f=1,0×10⁵ atm, V_f=1,0×10³ L). Precisamos achar as três velocidades do gás (vrms, velocidade média ⟨v⟩ e velocidade mais provável v_p) antes e depois da compressão.
Conteúdo:
- Processo adiabático para achar a temperatura final.
- Distribuição de Maxwell–Boltzmann para achar as velocidades moleculares.
O que vamos precisar:
- Relação adiabática: T·V^(γ–1)=consto, com γ (índice adiabático).
- Fórmulas de vrms, ⟨v⟩ e v_p em função de T e massa molar M.
- Valor de R (constante dos gases) e massa molar típica (assumimos ar, M=0,028 kg/mol, γ=1,4).
Passo 2
Primeiro, converte a temperatura inicial pra Kelvin:
T₀ = 0 °C = 273,15 K
T₀ = 0 °C = 273,15 K
Como é adiabático, vale
T₀·V₀^(γ–1) = T_f·V_f^(γ–1)
T₀·V₀^(γ–1) = T_f·V_f^(γ–1)
Logo
T_f = T₀·(V₀/V_f)^(γ–1)
T_f = T₀·(V₀/V_f)^(γ–1)
Substituindo γ=1,4 e V₀/V_f = (1,0×10⁶)/(1,0×10³)=10³:
T_f = 273,15·(10³)^(1,4–1) = 273,15·(10³)^0,4 = 273,15·10^(3·0,4) = 273,15·10^1,2 ≈ 273,15·15,85 ≈ 4 330 K
T_f = 273,15·(10³)^(1,4–1) = 273,15·(10³)^0,4 = 273,15·10^(3·0,4) = 273,15·10^1,2 ≈ 273,15·15,85 ≈ 4 330 K
Passo 3
Agora a teoria das velocidades: para um gás ideal à temperatura T, massa molar M e R=8,314 J/(mol·K), temos
vrms = √(3·R·T / M)
⟨v⟩ = √(8·R·T / (π·M))
v_p = √(2·R·T / M)
vrms = √(3·R·T / M)
⟨v⟩ = √(8·R·T / (π·M))
v_p = √(2·R·T / M)
Explico rapidinho:
- vrms (root‐mean‐square) dá a “velocidade quadrática média”.
- ⟨v⟩ é a velocidade média aritmética.
- v_p é o pico da distribuição de Maxwell–Boltzmann, ou seja, a mais provável.
Passo 4
Calcula pra T₀=273,15 K e M=0,028 kg/mol:
vrms₀ = √(3·8,314·273,15 / 0,028) ≈ √(243 214) ≈ 493 m/s
⟨v⟩₀ = √(8·8,314·273,15 / (π·0,028)) ≈ √(206 454) ≈ 454 m/s
v_p₀ = √(2·8,314·273,15 / 0,028) ≈ √(162 143) ≈ 403 m/s
vrms₀ = √(3·8,314·273,15 / 0,028) ≈ √(243 214) ≈ 493 m/s
⟨v⟩₀ = √(8·8,314·273,15 / (π·0,028)) ≈ √(206 454) ≈ 454 m/s
v_p₀ = √(2·8,314·273,15 / 0,028) ≈ √(162 143) ≈ 403 m/s
Passo 5
E pra T_f≈4 330 K:
vrms_f = √(3·8,314·4 330 / 0,028) ≈ √(3 858 414) ≈ 1 964 m/s
⟨v⟩_f = √(8·8,314·4 330 / (π·0,028)) ≈ √(3 274 997) ≈ 1 809 m/s
v_p_f = √(2·8,314·4 330 / 0,028) ≈ √(2 572 236) ≈ 1 604 m/s
vrms_f = √(3·8,314·4 330 / 0,028) ≈ √(3 858 414) ≈ 1 964 m/s
⟨v⟩_f = √(8·8,314·4 330 / (π·0,028)) ≈ √(3 274 997) ≈ 1 809 m/s
v_p_f = √(2·8,314·4 330 / 0,028) ≈ √(2 572 236) ≈ 1 604 m/s
Resposta
Velocidades antes da compressão (T₀=273,15 K):
• vrms₀ ≈ 493 m/s
• ⟨v⟩₀ ≈ 454 m/s
• v_p₀ ≈ 403 m/s
• vrms₀ ≈ 493 m/s
• ⟨v⟩₀ ≈ 454 m/s
• v_p₀ ≈ 403 m/s
Velocidades depois da compressão (T_f≈4 330 K):
• vrms_f ≈ 1 964 m/s
• ⟨v⟩_f ≈ 1 809 m/s
• v_p_f ≈ 1 604 m/s
• vrms_f ≈ 1 964 m/s
• ⟨v⟩_f ≈ 1 809 m/s
• v_p_f ≈ 1 604 m/s