Questão 3.(10 Pontos) um capacitor de placas circulares de raio a e espaçamento d«a. A carga nas placas é uma função linear do tempo Q(t)=I0 t, positiva na placa superior e negativa na inferior. Use um sistema de coordenadas em que o eixo do capacitor corresponde ao eixo z com a origem posicionada no centro. A conexão metálica entre as placas é feita externamente por fios finos de comprimento infinito ao longo do eixo z .
a) Determine o campo magnético nos lados externo (|z|>d / 2) e interno (|z| das placas. Assuma o modelo ideal de capacitor e despreze os efeitos de radiação.
b)Ache a densidade de corrente sobre a superficie das placas de duas maneiras:
i) usando as condições de fronteira do campo magnético;
ii) usando a equação de conservação da carga (equação de continuidade).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de capacitor que tem placas circulares. O enunciado nos pede para encontrar o campo magnético tanto fora quanto entre as placas do capacitor e, depois, calcular a densidade de corrente na superfície das placas de duas maneiras diferentes. Para isso, vamos precisar entender conceitos de campos magnéticos gerados por correntes elétricas e as condições de fronteira para esses campos, além da equação de continuidade para a conservação da carga.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) da questão, que pede para determinar o campo magnético nas regiões externa (|z| > d/2) e interna (|z| < d/2) das placas do capacitor. Vamos usar o modelo ideal de capacitor, onde desprezamos os efeitos de radiação.

Passo 3

Para encontrar o campo magnético, vamos utilizar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao longo de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. A Lei de Ampère é dada por:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
onde B é o campo magnético, dl é um elemento infinitesimal do caminho fechado, mu0 é a permeabilidade do vácuo e Ienc é a corrente encerrada pelo caminho.

Passo 4

Vamos considerar um caminho de Ampère circular concêntrico com as placas do capacitor, ao longo do eixo z. Para simplificar, assumimos que o campo magnético só tem componente azimutal ( phi) devido à simetria do problema.
Região externa ( |z| > d/2):
Nessa região, o caminho de Ampère está fora das placas, então a corrente encerrada Ienc é apenas a corrente nos fios metálicos que conectam as placas. Como as correntes nos fios são iguais e opostas nas duas placas, a corrente líquida encerrada é zero. Portanto, pelo Lei de Ampère:
oint B cdot dl = 0 Rightarrow Bexterno = 0
Região interna ( |z| < d/2):
Dentro do capacitor, a corrente efetiva que contribui para o campo magnético é a taxa de variação da carga nas placas, já que Q(t) = I0 t. A corrente de deslocamento pode ser associada à variação do campo elétrico entre as placas.
Aqui, a corrente encerrada Ienc é I0. Aplicando a Lei de Ampère:
oint B cdot dl = mu0 I0
Como o caminho é circular e o campo B é o mesmo em todo o percurso, temos:
B 2pi r = mu0 I0 Rightarrow B = mu0 I02pi r
No entanto, como o capacitor é ideal e as placas são grandes ( d << a), o campo magnético dentro pode ser considerado uniforme e paralelo ao eixo azimutal. Portanto, simplificando, podemos expressar o campo interno como:
Binterno = mu0 I02pi r phi

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), onde precisamos encontrar a densidade de corrente na superfície das placas de duas maneiras diferentes.
i) Usando as condições de fronteira do campo magnético:
A condição de fronteira para o campo magnético nas superfícies das placas relaciona a diferença no campo magnético com a densidade de corrente superficial K. A condição é dada por:
Bacima - Babaixo = mu0 K times n
onde n é o vetor normal à superfície.
Considerando que fora das placas o campo magnético é zero e dentro é Binterno, temos:
0 - Binterno = mu0 K times n
Resolvendo para K:
K = Binterno times nmu0
Substituindo Binterno = mu0 I02pi r phi e n = z, temos:
K = mu0 I02pi r phi times zmu0 = I02pi r r
ii) Usando a equação de conservação da carga (equação de continuidade):
A equação de continuidade nos diz que a variação da densidade de carga está relacionada à divergência da densidade de corrente:
partial rhopartial t + nabla cdot J = 0
No caso do capacitor, a carga nas placas está aumentando com o tempo, Q(t) = I0 t, portanto:
partial Qpartial t = I0 = nabla cdot J
A densidade de corrente superficial K está relacionada à densidade de corrente volumétrica J pela relação:
J = K de
Integrando sobre a espessura, temos:
I0 = nabla cdot K
Assumindo simetria circular, a divergência em coordenadas cilíndricas para uma corrente radial é:
nabla cdot K = 1r partial (r Kr)partial r = I0
Resolvendo para Kr:
partial (r Kr)partial r = I0 r Rightarrow r Kr = I02 r^2 + C
Desconsiderando a constante de integração C por causa da condição de que Kr deve permanecer finito para r to 0:
Kr = I0 r2

Resposta

Portanto, o campo magnético nas regiões externas ao capacitor é nulo, ou seja, Bexterno = 0, e o campo magnético interno é dado por Binterno = mu0 I02pi r phi. Além disso, a densidade de corrente superficial nas placas do capacitor é K = I02pi r r, obtida tanto pelas condições de fronteira do campo magnético quanto pela equação de continuidade.

Exercícios relacionados