Questão 3.(10 Pontos) um capacitor de placas circulares de raio
e espaçamento d«a. A carga nas placas é uma função linear do tempo
, positiva na placa superior e negativa na inferior. Use um sistema de coordenadas em que o eixo do capacitor corresponde ao eixo z com a origem posicionada no centro. A conexão metálica entre as placas é feita externamente por fios finos de comprimento infinito ao longo do eixo z .
a) Determine o campo magnético nos lados externo
e interno
das placas. Assuma o modelo ideal de capacitor e despreze os efeitos de radiação.
b)Ache a densidade de corrente sobre a superficie das placas de duas maneiras:
i) usando as condições de fronteira do campo magnético;
ii) usando a equação de conservação da carga (equação de continuidade).
a) Determine o campo magnético nos lados externo
b)Ache a densidade de corrente sobre a superficie das placas de duas maneiras:
i) usando as condições de fronteira do campo magnético;
ii) usando a equação de conservação da carga (equação de continuidade).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de capacitor que tem placas circulares. O enunciado nos pede para encontrar o campo magnético tanto fora quanto entre as placas do capacitor e, depois, calcular a densidade de corrente na superfície das placas de duas maneiras diferentes. Para isso, vamos precisar entender conceitos de campos magnéticos gerados por correntes elétricas e as condições de fronteira para esses campos, além da equação de continuidade para a conservação da carga.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) da questão, que pede para determinar o campo magnético nas regiões externa
e interna
das placas do capacitor. Vamos usar o modelo ideal de capacitor, onde desprezamos os efeitos de radiação.
Passo 3
Para encontrar o campo magnético, vamos utilizar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao longo de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. A Lei de Ampère é dada por:
onde
é o campo magnético,
é um elemento infinitesimal do caminho fechado,
é a permeabilidade do vácuo e
é a corrente encerrada pelo caminho.
Passo 4
Vamos considerar um caminho de Ampère circular concêntrico com as placas do capacitor, ao longo do eixo
. Para simplificar, assumimos que o campo magnético só tem componente azimutal (
) devido à simetria do problema.
Região externa (
):
Nessa região, o caminho de Ampère está fora das placas, então a corrente encerrada
é apenas a corrente nos fios metálicos que conectam as placas. Como as correntes nos fios são iguais e opostas nas duas placas, a corrente líquida encerrada é zero. Portanto, pelo Lei de Ampère:
Região interna (
):
Dentro do capacitor, a corrente efetiva que contribui para o campo magnético é a taxa de variação da carga nas placas, já que
. A corrente de deslocamento pode ser associada à variação do campo elétrico entre as placas.
Aqui, a corrente encerrada
é
. Aplicando a Lei de Ampère:
Como o caminho é circular e o campo
é o mesmo em todo o percurso, temos:
No entanto, como o capacitor é ideal e as placas são grandes (
), o campo magnético dentro pode ser considerado uniforme e paralelo ao eixo azimutal. Portanto, simplificando, podemos expressar o campo interno como:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b), onde precisamos encontrar a densidade de corrente na superfície das placas de duas maneiras diferentes.
i) Usando as condições de fronteira do campo magnético:
A condição de fronteira para o campo magnético nas superfícies das placas relaciona a diferença no campo magnético com a densidade de corrente superficial
. A condição é dada por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Considerando que fora das placas o campo magnético é zero e dentro é
, temos:
Resolvendo para
:
Substituindo
e
, temos:
ii) Usando a equação de conservação da carga (equação de continuidade):
A equação de continuidade nos diz que a variação da densidade de carga está relacionada à divergência da densidade de corrente:
No caso do capacitor, a carga nas placas está aumentando com o tempo,
, portanto:
A densidade de corrente superficial
está relacionada à densidade de corrente volumétrica
pela relação:
Integrando sobre a espessura, temos:
Assumindo simetria circular, a divergência em coordenadas cilíndricas para uma corrente radial é:
Resolvendo para
:
Desconsiderando a constante de integração
por causa da condição de que
deve permanecer finito para
:
Resposta
Portanto, o campo magnético nas regiões externas ao capacitor é nulo, ou seja,
, e o campo magnético interno é dado por
. Além disso, a densidade de corrente superficial nas placas do capacitor é
, obtida tanto pelas condições de fronteira do campo magnético quanto pela equação de continuidade.