Questão 3: Um oscilador harmônico amortecido descrito por
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b \frac{d x}{d t}+k x=0
onde m é a massa do corpo e k a constante elástica da mola Mostre que a taxa de dissipação da energia mecânica P=d E / d t, onde E é a energia mecânica total, em função da constante de amortecimento b e a velocidade v=d x / d t, é dada por: P=b v^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação do movimento
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+k x=0,
onde m é a massa, b a constante de amortecimento, k a constante da mola. Define-se a velocidade instantânea como v=\dfrac{dx}{dt}. O enunciado pede para mostrar que a taxa de dissipação da energia mecânica P (relacionada à energia mecânica total E) é dada por
P=b v^{2}.
Também fica implícito que a energia mecânica total é a soma da energia cinética e da energia potencial elástica.

Passo 2

Definir a energia mecânica total E. A energia cinética de uma massa m com velocidade v é \tfrac{1}{2}m v^{2}. A energia potencial elástica da mola é \tfrac{1}{2}k x^{2}. Portanto
E=\frac{1}{2}m v^{2}+\frac{1}{2}k x^{2}.
Aqui cada termo tem sentido físico: o primeiro é energia de movimento, o segundo é energia armazenada na mola.

Passo 3

Calcular a derivada temporal \dfrac{dE}{dt} usando a regra da cadeia (produto simples porque os termos são funções de v ou x):
\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}m v^{2}\right)+\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}k x^{2}\right).
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}m v^{2}\right)=m v\frac{dv}{dt}=m v a,
onde definimos a aceleração a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}. E
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}k x^{2}\right)=k x\frac{dx}{dt}=k x v.
Somando os dois resultados:
\frac{dE}{dt}=m v a + k x v = v\left(m a + k x\right).

Passo 4

Usar a equação do movimento para eliminar m a + k x. A equação dada é
m a + b v + k x = 0,
portanto
m a + k x = - b v.

Passo 5

Substituir m a + k x = - b v em \dfrac{dE}{dt}=v(m a + k x):
\frac{dE}{dt}=v\big(-b v\big) = -b v^{2}.
Isto mostra que a derivada temporal da energia mecânica total é negativa e vale -b v^{2}, ou seja a energia mecânica diminui à taxa b v^{2}.

Passo 6

Interpretando o sinal: \dfrac{dE}{dt}=-b v^{2} significa que a energia mecânica é dissipada (perde-se energia) a uma taxa numérica b v^{2}. Se definirmos a potência dissipada como uma quantidade positiva P_{\text{diss}} (energia por unidade de tempo retiradas do sistema), então
P_{\text{diss}}=-\frac{dE}{dt}=b v^{2}.
Portanto, a taxa de dissipação da energia mecânica (medida como quantidade positiva) é b v^{2}, conforme pedido.

Resposta

P=b v^{2}

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