Questão 3: Um oscilador harmônico amortecido descrito por
onde
é a massa do corpo e
a constante elástica da mola Mostre que a taxa de dissipação da energia mecânica
, onde
é a energia mecânica total, em função da constante de amortecimento
e a velocidade
, é dada por:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação do movimento
onde
é a massa,
a constante de amortecimento,
a constante da mola. Define-se a velocidade instantânea como
. O enunciado pede para mostrar que a taxa de dissipação da energia mecânica
(relacionada à energia mecânica total
) é dada por
Também fica implícito que a energia mecânica total é a soma da energia cinética e da energia potencial elástica.
Passo 2
Definir a energia mecânica total
. A energia cinética de uma massa
com velocidade
é
. A energia potencial elástica da mola é
. Portanto
Aqui cada termo tem sentido físico: o primeiro é energia de movimento, o segundo é energia armazenada na mola.
Passo 3
Calcular a derivada temporal
usando a regra da cadeia (produto simples porque os termos são funções de
ou
):
Aplicando a regra da cadeia:
onde definimos a aceleração
. E
Somando os dois resultados:
Passo 4
Usar a equação do movimento para eliminar
. A equação dada é
portanto
Passo 5
Substituir
em
:
Isto mostra que a derivada temporal da energia mecânica total é negativa e vale
, ou seja a energia mecânica diminui à taxa
.
Passo 6
Interpretando o sinal:
significa que a energia mecânica é dissipada (perde-se energia) a uma taxa numérica
. Se definirmos a potência dissipada como uma quantidade positiva
(energia por unidade de tempo retiradas do sistema), então
Portanto, a taxa de dissipação da energia mecânica (medida como quantidade positiva) é
, conforme pedido.