Questão 4:
Um colecionador de aves tenta capturar dois pássaros
e
da mesma espécie. O colecionador carrega um detetor de frequências que capta o canto dos pássaros. (a)/0,5 pts/ Se o colecionador, estando ele imóvel, recebe frequências de 10430 Hz e 10080 Hz dos pássaros
e
respectivamente e sabendo, como bom conhecedor dessas aves, que a frequência do canto delas é de 10200 Hz , determine se os pássaros estão se afastando ou se aproximando do colecionador e a velocidade com a qual isto acontece. OBS: Considere o problema como sendo unidimensional e a velociadade do som
. (b)
Se agora o colecionador se desloca para a direita com uma velocidade de
, qual será o valor das frequèncias captadas? (c)/1,0 pt/Os pássaros considerados neste problema percebem que estão sendo seguidos quando a frequência do som que emitem retorna para eles com uma diferença
. Considerando o pássaro que se movimenta na mesma direção e sentido do colecionador, calcule qual será a velocidade máxima que o colocionador pode alcançar sem que o pássaro perceba a sua presença.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede; peguei todos os números do enunciado.
Dados (peguei estes números do enunciado):
- Frequência emitida pela espécie (frequência de canto):
. - Observador (colecionador) inicialmente imóvel recebe:
- do pássaro
: , - do pássaro
: .
- do pássaro
- Velocidade do som:
. - No item (b) o colecionador passa a mover-se para a direita com velocidade
. - No item (c) queremos a velocidade máxima do colecionador (quando corre atrás do pássaro que vai no mesmo sentido) tal que a diferença na frequência que retorna ao pássaro seja menor que
.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar se cada pássaro está se aproximando ou se afastando do colecionador e calcular a velocidade (módulo) de cada pássaro relativa ao ar (ou seja, velocidade em relação ao meio) com base nas frequências recebidas quando o colecionador está imóvel.
(b) Se o colecionador se desloca para a direita com , calcular as frequências captadas por ele dos pássaros (usar as velocidades dos pássaros do item (a)).
(c) Para o pássaro que se movimenta na mesma direção e sentido do colecionador, calcular a velocidade máxima que o colecionador pode ter sem que o pássaro perceba a presença: isto é, sem que a frequência do som que o pássaro emitiu e que retorna para ele sofra uma diferença relativa .
(a) Determinar se cada pássaro está se aproximando ou se afastando do colecionador e calcular a velocidade (módulo) de cada pássaro relativa ao ar (ou seja, velocidade em relação ao meio) com base nas frequências recebidas quando o colecionador está imóvel.
(b) Se o colecionador se desloca para a direita com
(c) Para o pássaro que se movimenta na mesma direção e sentido do colecionador, calcular a velocidade máxima que o colecionador pode ter sem que o pássaro perceba a presença: isto é, sem que a frequência do som que o pássaro emitiu e que retorna para ele sofra uma diferença relativa
Passo 2
Conceito e fórmula útil (Doppler unidimensional, explicado passo a passo).
- Situação geral unidimensional: som no ar com velocidade
. Chamamos de “observador” quem recebe o som e de “fonte” quem emite o som. As velocidades são medidas em relação ao ar (referencial do meio). - Fórmula do efeito Doppler (caso geral, para o eixo único): se a fonte se move com componente de velocidade
(definida positiva quando a fonte se move em direção ao observador) e o observador se move com componente (definida positiva quando o observador se move em direção à fonte), a frequência observada é
Explicando as variáveis:
-
é a frequência medida pelo observador; -
é a frequência emitida pela fonte (no referencial da fonte); -
é a velocidade do som no meio; -
é a velocidade do observador (positiva se o observador for em direção à fonte); -
é a velocidade da fonte (positiva se a fonte for em direção ao observador). - Casos especiais:
- Observador imóvel (
): . Se então (fonte se aproxima); se então (fonte se afasta). - Fonte imóvel (
) e observador movendo-se: . Se o observador se aproxima ( ) a frequência aumenta.
- Observador imóvel (
Vou usar essas fórmulas para resolver (a) e (b). Para (c) vou explicar a versão “reflexão” aproximada (duplo efeito Doppler) e linearizar para velocidades pequenas comparadas a
.
Passo 3
Resolução do item (a): pássaros com o colecionador imóvel — identificar aproximação/afastamento e calcular velocidades.
Usamos a fórmula para observador imóvel (
):
Resolver para
:
Observação sobre o sinal: se
então
e
(fonte se aproxima); se
então
(fonte se afasta).
Cálculo para
:
Como
, conclui-se que o pássaro
está se aproximando do colecionador com velocidade
.
Cálculo para
:
Para a fonte está se afastando. Usando a forma conveniente (resolver a mesma equação):
Para
Como
, esse
é negativo no sentido “em direção ao observador” segundo a convenção anterior; em termos de interpretação: o pássaro
está se afastando com velocidade
.
Resumo do item (a):
-
está se aproximando com velocidade . -
está se afastando com velocidade .
Passo 4
Resolução do item (b): colecionador agora se move para a direita com
. Converter unidades e escolher sinais.
Primeiro converter velocidade do colecionador:
Logo
(tomando positivo na direção “para a direita”).
Para aplicar a fórmula Doppler com ambas as velocidades usamos
onde, como antes,
é positiva quando a fonte se move em direção ao observador e
é positiva quando o observador se move em direção à fonte.
Precisamos especificar a configuração espacial para saber se o observador (movendo-se para a direita) está se aproximando ou se afastando de cada pássaro. Uma escolha consistente (compatível com os dados do item (a) e com o item (c) que fala “o pássaro que se movimenta na mesma direção e sentido do colecionador”) é a seguinte:
- Ambos os pássaros estão à direita do colecionador inicialmente.
- O pássaro
está mais perto, movendo-se para a esquerda (ou seja, movendo-se em direção ao colecionador) com velocidade — isto dá quando o colecionador era imóvel. - O pássaro
está mais à direita e move-se para a direita (mesma direção e sentido do colecionador) com velocidade — isto dá quando o colecionador era imóvel.
Com essa disposição, quando o colecionador passa a se deslocar para a direita com
:
- Em relação a
(que está à direita vindo para o colecionador), o colecionador movendo-se para a direita aumenta a separação momentaneamente (pois vem na direção oposta) — isto significa que, para , o sinal do é negativo (o observador está se afastando de ). Portanto para usamos e (positivo porque aponta para o observador). - Em relação a
(que está mais à direita e se move para a direita), o colecionador movendo-se para a direita aproxima-se de (pois o colecionador vai na direção de ); então para usamos e (negativo porque está se afastando do colecionador).
Agora calculamos as frequências novas.
Para
:
Para
:
Arredondando de forma prática:
- Frequência captada de
: . - Frequência captada de
: .
Passo 5
Resolução do item (c): velocidade máxima do colecionador sem que o pássaro que se movimenta na mesma direção e sentido (pássaro
) perceba sua presença, dado o critério de percepção: a frequência do som que o pássaro emite e que retorna para ele difere da emitida por
.
Ideia física e aproximação (explicada passo a passo, linguagem simples):
- O som emitido pelo pássaro chega ao colecionador e é refletido (ou retransmitido) de volta ao pássaro; esse processo produz um duplo efeito Doppler: primeiro a frequência que o colecionador “recebe” é alterada pela diferença de velocidade entre pássaro e colecionador; depois, o colecionador, ao agir como fonte da reflexão, reemite essa onda enquanto se move, causando uma nova alteração de frequência antes dela chegar de volta ao pássaro.
- Para velocidades muito menores que
(caso realístico: algumas m/s vs ), pode-se linearizar (fazer aproximação de primeira ordem) e dizer que a mudança relativa total na frequência retornada ao pássaro é aproximadamente o dobro da mudança relativa associada à velocidade relativa entre colecionador e pássaro. Em fórmula simples e intuitiva:
onde
é a velocidade relativa (positiva se o colecionador aproxima-se do pássaro vindo por trás). Essa expressão vem de multiplicar dois fatores
(um para ida e outro para volta) e mantendo apenas termos lineares em
.
- O pássaro percebe quando
. Para evitar percepção queremos
Agora calcular numericamente. Tomando
,
Portanto a diferença de velocidades máxima permitida entre colecionador e pássaro (colecionador mais rápido) é
. Como o pássaro
já tem velocidade (relativa ao ar)
(do item (a)), a velocidade máxima do colecionador é
Converter para
:
Observação didática e nota de cautela: a expressão usada é uma aproximação de primeira ordem válida para velocidades muito menores que
. Se fosse necessário, poderia-se resolver exatamente a fórmula do duplo Doppler sem linearizar; o resultado numérico não difere muito para velocidades pequenas, e a aproximação é a forma prática que se usa em provas quando se pede “velocidade máxima” e os números são da ordem de poucos m/s. Portanto a resposta prática: cerca de
(≈
).
Resposta
(a)
se aproxima com
.
(a) se afasta com
.
(b)
e
(c)
(a)
(b)
(c)