Questão 4: [2,5 \mathrm{pts}] Um colecionador de aves tenta capturar dois pássaros A e B da mesma espécie. O colecionador carrega um detetor de frequências que capta o canto dos pássaros. (a)/0,5 pts/ Se o colecionador, estando ele imóvel, recebe frequências de 10430 Hz e 10080 Hz dos pássaros A e B respectivamente e sabendo, como bom conhecedor dessas aves, que a frequência do canto delas é de 10200 Hz , determine se os pássaros estão se afastando ou se aproximando do colecionador e a velocidade com a qual isto acontece. OBS: Considere o problema como sendo unidimensional e a velociadade do som v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (b) [1,0 \mathrm{pt}] Se agora o colecionador se desloca para a direita com uma velocidade de 9 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, qual será o valor das frequèncias captadas? (c)/1,0 pt/Os pássaros considerados neste problema percebem que estão sendo seguidos quando a frequência do som que emitem retorna para eles com uma diferença \geq 1 \%. Considerando o pássaro que se movimenta na mesma direção e sentido do colecionador, calcule qual será a velocidade máxima que o colocionador pode alcançar sem que o pássaro perceba a sua presença.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede; peguei todos os números do enunciado.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Frequência emitida pela espécie (frequência de canto): f_{0}=10200\\ \text{Hz}.
  • Observador (colecionador) inicialmente imóvel recebe:
    • do pássaro A: f_A^{\text{obs}}=10430\\ \text{Hz},
    • do pássaro B: f_B^{\text{obs}}=10080\\ \text{Hz}.
  • Velocidade do som: v=340\\ \text{m/s}.
  • No item (b) o colecionador passa a mover-se para a direita com velocidade 9\\ \text{km/h}.
  • No item (c) queremos a velocidade máxima do colecionador (quando corre atrás do pássaro que vai no mesmo sentido) tal que a diferença na frequência que retorna ao pássaro seja menor que 1\%.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar se cada pássaro está se aproximando ou se afastando do colecionador e calcular a velocidade (módulo) de cada pássaro relativa ao ar (ou seja, velocidade em relação ao meio) com base nas frequências recebidas quando o colecionador está imóvel.
(b) Se o colecionador se desloca para a direita com 9\\ \text{km/h}, calcular as frequências captadas por ele dos pássaros (usar as velocidades dos pássaros do item (a)).
(c) Para o pássaro que se movimenta na mesma direção e sentido do colecionador, calcular a velocidade máxima que o colecionador pode ter sem que o pássaro perceba a presença: isto é, sem que a frequência do som que o pássaro emitiu e que retorna para ele sofra uma diferença relativa \ge 1\%.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (Doppler unidimensional, explicado passo a passo).
  • Situação geral unidimensional: som no ar com velocidade \;v\;. Chamamos de “observador” quem recebe o som e de “fonte” quem emite o som. As velocidades são medidas em relação ao ar (referencial do meio).
  • Fórmula do efeito Doppler (caso geral, para o eixo único): se a fonte se move com componente de velocidade u_s (definida positiva quando a fonte se move em direção ao observador) e o observador se move com componente u_o (definida positiva quando o observador se move em direção à fonte), a frequência observada é
f^{\text{obs}} = f_0\;\frac{v + u_o}{\,v - u_s\,}.
Explicando as variáveis:
  • f^{\text{obs}} é a frequência medida pelo observador;
  • f_0 é a frequência emitida pela fonte (no referencial da fonte);
  • v é a velocidade do som no meio;
  • u_o é a velocidade do observador (positiva se o observador for em direção à fonte);
  • u_s é a velocidade da fonte (positiva se a fonte for em direção ao observador).
  • Casos especiais:
    • Observador imóvel ( u_o=0): f^{\text{obs}} = f_0\; \dfrac{v}{v - u_s}. Se f^{\text{obs}}>f_0 então u_s>0 (fonte se aproxima); se f^{\text{obs}}<f_0 então u_s<0 (fonte se afasta).
    • Fonte imóvel ( u_s=0) e observador movendo-se: f^{\text{obs}} = f_0\; \dfrac{v + u_o}{v}. Se o observador se aproxima ( u_o>0) a frequência aumenta.
Vou usar essas fórmulas para resolver (a) e (b). Para (c) vou explicar a versão “reflexão” aproximada (duplo efeito Doppler) e linearizar para velocidades pequenas comparadas a v.

Passo 3

Resolução do item (a): pássaros com o colecionador imóvel — identificar aproximação/afastamento e calcular velocidades.
Usamos a fórmula para observador imóvel ( u_o=0):
f^{\text{obs}} = f_0\;\frac{v}{v - u_s}.
Resolver para u_s:
v - u_s = v\frac{f_0}{f^{\text{obs}}} \quad\Rightarrow\quad u_s = v\Big(1 - \frac{f_0}{f^{\text{obs}}}\Big).
Observação sobre o sinal: se f^{\text{obs}}>f_0 então 1-\frac{f_0}{f^{\text{obs}}}>0 e u_s>0 (fonte se aproxima); se f^{\text{obs}}<f_0 então u_s<0 (fonte se afasta).
Cálculo para A:
u_{s,A} = 340\Big(1 - \frac{10200}{10430}\Big) =340\big(1 - 0{,}977966\ldots\big) =340\cdot0{,}0220337\ldots \approx 7{,}4915\\ \text{m/s}.
Como f_A^{\text{obs}}>f_0, conclui-se que o pássaro A está se aproximando do colecionador com velocidade \approx 7{,}49\\ \text{m/s}.
Cálculo para B:
Para f_B^{\text{obs}}=10080\\ \text{Hz}<f_0 a fonte está se afastando. Usando a forma conveniente (resolver a mesma equação):
u_{s,B} = v\Big(\frac{f_0}{f_B^{\text{obs}}}-1\Big) =340\Big(\frac{10200}{10080}-1\Big) =340\cdot0{,}0119047619\ldots \approx 4{,}0476\\ \text{m/s}.
Como f_B^{\text{obs}}<f_0, esse u_{s,B} é negativo no sentido “em direção ao observador” segundo a convenção anterior; em termos de interpretação: o pássaro B está se afastando com velocidade 4{,}05\\ \text{m/s}.
Resumo do item (a):
  • A está se aproximando com velocidade \approx 7{,}49\\ \text{m/s}.
  • B está se afastando com velocidade \approx 4{,}05\\ \text{m/s}.

Passo 4

Resolução do item (b): colecionador agora se move para a direita com 9\\ \text{km/h}. Converter unidades e escolher sinais.
Primeiro converter velocidade do colecionador:
9\\ \text{km/h} = 9\cdot\frac{1000}{3600}\\ \text{m/s} = 2{,}5\\ \text{m/s}.
Logo u_o = 2{,}5\\ \text{m/s} (tomando positivo na direção “para a direita”).
Para aplicar a fórmula Doppler com ambas as velocidades usamos
f^{\text{obs}} = f_0\;\frac{v + u_o}{v - u_s},
onde, como antes, u_s é positiva quando a fonte se move em direção ao observador e u_o é positiva quando o observador se move em direção à fonte.
Precisamos especificar a configuração espacial para saber se o observador (movendo-se para a direita) está se aproximando ou se afastando de cada pássaro. Uma escolha consistente (compatível com os dados do item (a) e com o item (c) que fala “o pássaro que se movimenta na mesma direção e sentido do colecionador”) é a seguinte:
  • Ambos os pássaros estão à direita do colecionador inicialmente.
  • O pássaro A está mais perto, movendo-se para a esquerda (ou seja, movendo-se em direção ao colecionador) com velocidade 7{,}49\\ \text{m/s} — isto dá f_A^{\text{obs}}>f_0 quando o colecionador era imóvel.
  • O pássaro B está mais à direita e move-se para a direita (mesma direção e sentido do colecionador) com velocidade 4{,}05\\ \text{m/s} — isto dá f_B^{\text{obs}}<f_0 quando o colecionador era imóvel.
Com essa disposição, quando o colecionador passa a se deslocar para a direita com 2{,}5\\ \text{m/s}:
  • Em relação a A (que está à direita vindo para o colecionador), o colecionador movendo-se para a direita aumenta a separação momentaneamente (pois A vem na direção oposta) — isto significa que, para A, o sinal do u_o é negativo (o observador está se afastando de A). Portanto para A usamos u_o=-2{,}5\\ \text{m/s} e u_s=+7{,}4915\\ \text{m/s} (positivo porque A aponta para o observador).
  • Em relação a B (que está mais à direita e se move para a direita), o colecionador movendo-se para a direita aproxima-se de B (pois o colecionador vai na direção de B); então para B usamos u_o=+2{,}5\\ \text{m/s} e u_s=-4{,}0476\\ \text{m/s} (negativo porque B está se afastando do colecionador).
Agora calculamos as frequências novas.
Para A:
v+u_o = 340 - 2{,}5 = 337{,}5, \qquad v - u_s = 340 - 7{,}4915 = 332{,}5085.
f_A' = 10200\cdot\frac{337{,}5}{332{,}5085} \approx 10200\cdot 1{,}0149939 \approx 10352{,}34\\ \text{Hz}.
Para B:
v+u_o = 340 + 2{,}5 = 342{,}5, \qquad v - u_s = 340 - (-4{,}0476) = 344{,}0476.
f_B' = 10200\cdot\frac{342{,}5}{344{,}0476} \approx 10200\cdot 0{,}995544 \approx 10149{,}59\\ \text{Hz}.
Arredondando de forma prática:
  • Frequência captada de A: f_A' \approx 10352\\ \text{Hz}.
  • Frequência captada de B: f_B' \approx 10150\\ \text{Hz}.

Passo 5

Resolução do item (c): velocidade máxima do colecionador sem que o pássaro que se movimenta na mesma direção e sentido (pássaro B) perceba sua presença, dado o critério de percepção: a frequência do som que o pássaro emite e que retorna para ele difere da emitida por \ge 1\%.
Ideia física e aproximação (explicada passo a passo, linguagem simples):
  • O som emitido pelo pássaro chega ao colecionador e é refletido (ou retransmitido) de volta ao pássaro; esse processo produz um duplo efeito Doppler: primeiro a frequência que o colecionador “recebe” é alterada pela diferença de velocidade entre pássaro e colecionador; depois, o colecionador, ao agir como fonte da reflexão, reemite essa onda enquanto se move, causando uma nova alteração de frequência antes dela chegar de volta ao pássaro.
  • Para velocidades muito menores que v (caso realístico: algumas m/s vs v=340\\ \text{m/s}), pode-se linearizar (fazer aproximação de primeira ordem) e dizer que a mudança relativa total na frequência retornada ao pássaro é aproximadamente o dobro da mudança relativa associada à velocidade relativa entre colecionador e pássaro. Em fórmula simples e intuitiva:
\frac{\Delta f}{f_0} \approx 2\frac{v_{\text{rel}}}{v},
onde v_{\text{rel}} = v_c - v_b é a velocidade relativa (positiva se o colecionador aproxima-se do pássaro vindo por trás). Essa expressão vem de multiplicar dois fatores (1 + v_{\text{rel}}/v) (um para ida e outro para volta) e mantendo apenas termos lineares em v_{\text{rel}}/v.
  • O pássaro percebe quando \dfrac{\lvert\Delta f\rvert}{f_0}\ge 0{,}01. Para evitar percepção queremos
2\frac{v_{\text{rel}}}{v} < 0{,}01 \quad\Rightarrow\quad v_{\text{rel}} < \frac{0{,}01}{2}\,v = 0{,}005\,v.
Agora calcular numericamente. Tomando v=340\\ \text{m/s},
0{,}005\,v = 0{,}005\cdot340 = 1{,}7\\ \text{m/s}.
Portanto a diferença de velocidades máxima permitida entre colecionador e pássaro (colecionador mais rápido) é 1{,}7\\ \text{m/s}. Como o pássaro B já tem velocidade (relativa ao ar) v_b \approx 4{,}0476\\ \text{m/s} (do item (a)), a velocidade máxima do colecionador é
v_{c,\max} = v_b + 1{,}7 \approx 4{,}0476 + 1{,}7 = 5{,}7476\\ \text{m/s}.
Converter para \text{km/h}:
5{,}7476\\ \text{m/s}\times 3{,}6 \approx 20{,}6914\\ \text{km/h}\approx 20{,}7\\ \text{km/h}.
Observação didática e nota de cautela: a expressão usada é uma aproximação de primeira ordem válida para velocidades muito menores que v. Se fosse necessário, poderia-se resolver exatamente a fórmula do duplo Doppler sem linearizar; o resultado numérico não difere muito para velocidades pequenas, e a aproximação é a forma prática que se usa em provas quando se pede “velocidade máxima” e os números são da ordem de poucos m/s. Portanto a resposta prática: cerca de 5{,}75\\ \text{m/s} (≈ 20{,}7\\ \text{km/h}).

Resposta

(a) A se aproxima com u_{A}\approx 7{,}49\\ \text{m/s}.
(a) B se afasta com u_{B}\approx 4{,}05\\ \text{m/s}.
(b) f_A'\approx 10352\\ \text{Hz} \quad e \quad f_B'\approx 10150\\ \text{Hz}.
(c) v_{c,\max}\approx 5{,}75\\ \text{m/s}\approx 20{,}7\\ \text{km/h}.

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