Considere dois vetores, dados por a=5,0 imath+24,0-6,0 k e b=-2,0 imath+2,0 jmath+3,0 k. Qual o ângulo que estes vetores formam entre si? (dica: usa o produto escalar)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta qual o ângulo entre dois vetores, a e b. A matéria que vamos usar aqui é Produto Escalar de vetores. Para resolver isso, precisamos saber como calcular o produto escalar e os módulos (comprimentos) dos vetores. Com essas informações, conseguimos achar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os vetores que temos:
a = 5,0, imath + 24,0, jmath - 6,0, k
b = -2,0, imath + 2,0, jmath + 3,0, k

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre a e b. O produto escalar de dois vetores é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Substituindo os valores:
a cdot b = (5,0)(-2,0) + (24,0)(2,0) + (-6,0)(3,0)
a cdot b = -10,0 + 48,0 - 18,0 = 20,0

Passo 4

Agora, precisamos calcular os módulos (ou comprimentos) dos vetores a e b. A fórmula para o módulo de um vetor v = vx imath + vy jmath + vz k é:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Primeiro, para a:
|a| = raiz(5,0)^2 + (24,0)^2 + (-6,0)^2 = raiz25 + 576 + 36 = raiz637 approx 25,24
Agora, para b:
|b| = raiz(-2,0)^2 + (2,0)^2 + (3,0)^2 = raiz4 + 4 + 9 = raiz17 approx 4,12

Passo 5

Com o produto escalar e os módulos, usamos a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo theta entre os vetores:
costheta = a cdot b|a|, |b|
Substituindo os valores:
costheta = 20,025,24 times 4,12 approx 20,0104,0 approx 0,1923

Passo 6

Para achar o ângulo theta, usamos a função arcos (ou cos⁻¹):
theta = arccos(0,1923) approx 78°

Resposta

O ângulo entre os vetores a e b é aproximadamente 78 graus.

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