Um gás monoatômico ideal ocupa um volume de
a uma pressão de
e uma temperatura de
gás se expande até uma pressão final de
. Calcule o volume e a temperatura finais, o trabalho realizado, o calor absorvido ou cedido e a variação na energia interna para cada um dos processos:
uma expansão adiabática reversível.
uma expansão adiabática reversível.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados iniciais e pede várias quantidades finais para uma expansão adiabática reversível de um gás monoatômico ideal:
Dado:
Perguntas (para a expansão adiabática reversível):
- Volume final
. - Temperatura final
. - Trabalho realizado pelo gás
(sinal positivo se o gás realiza trabalho). - Calor trocado
(absorvido ou cedido). - Variação da energia interna
.
Observação: as pressões estão em atm; para cálculos com a constante dos gases usarei o Sistema Internacional, convertendo atm para pascal quando necessário.
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (explicados passo a passo, sem pular etapas):
- Gás monoatômico ideal:
- Para 1 mol de um gás monoatômico ideal, a capacidade calorífica molar a volume constante é
. Aqui é a constante dos gases perfeitos e vale . - A razão de capacidades caloríficas é
. Para gás monoatômico ideal , logo
Explico:
mede quanto energia interna aumenta por mol quando a temperatura aumenta a volume constante;
mede quanto calor é necessário por mol para aumentar a temperatura a pressão constante. Para gases ideais essas relações dão
.
- Processo adiabático reversível (isentópico para gás ideal):
- Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale a lei
- Equivalentes úteis:
Essas relações vêm da combinação da equação de estado
com a condição adiabática reversível
.
- Energia interna e trabalho:
- Para gás ideal, a variação de energia interna por mol é
. - Primeira lei da termodinâmica (com sinal convencional
positivo quando o sistema realiza trabalho): . - Em um processo adiabático
, portanto (trabalho realizado pelo gás é a energia interna perdida).
Vou usar essas fórmulas para calcular
.
Passo 3
Calcular
explicitamente para usar nas relações:
Também anoto
e
Passo 4
Calcular o volume final
usando
.
Isolando
:
Substituindo números (antes converto razão de pressões; como é razão, atm cancela, posso usar diretamente
):
Como
, temos
. Então
Logo
Explicando o cálculo: usei que
ou fatorizei
para facilitar a conta mental com potências de 2.
Passo 5
Calcular a temperatura final
. Uso a relação
(pois
const).
Substituindo:
Faço os passos numéricos:
Elevando à potência
:
Portanto
Observação: podia usar também
, que leva ao mesmo resultado.
Passo 6
Calcular o número de mols
usando a equação dos gases ideais
.
Primeiro converto
para pascal:
Agora
Calculo numérico:
Interpretação: o recipiente contém cerca de
mols do gás.
Passo 7
Calcular o trabalho
realizado pelo gás durante a expansão adiabática reversível.
Como expliquei, em adiabático
e pela primeira lei
. Também podemos usar diretamente a expressão
com
.
Calculo
:
Agora
Diferença de temperaturas:
Produto:
Verificação alternativa (mesma resposta): usar fórmula
com pressões em pascal e volumes em
. Fiz essa verificação e obtive valor consistente
.
Interpretação do sinal: obtivemos
, ou seja, o gás realizou trabalho (expansão), retirando energia interna do gás.
Passo 8
Calor trocado
e variação da energia interna
:
-
Por definição de processo adiabático reversível,
. Ou seja, nenhum calor foi trocado com o ambiente. -
A variação da energia interna é
Já calculamos
,
,
e
, então:
Consistência com primeira lei:
logo
é negativo e igual em módulo a
, o que confirma os cálculos.