Um gás monoatômico ideal ocupa um volume de 4,00 \mathrm{~m}^{3} a uma pressão de 8,00 \mathrm{~atm} e uma temperatura de 400 \mathrm{~K} . \mathrm{O} gás se expande até uma pressão final de 1,00 \mathrm{~atm}. Calcule o volume e a temperatura finais, o trabalho realizado, o calor absorvido ou cedido e a variação na energia interna para cada um dos processos:
uma expansão adiabática reversível.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados iniciais e pede várias quantidades finais para uma expansão adiabática reversível de um gás monoatômico ideal:
Dado:
P_1 = 8{,}00\\ \text{atm},\quad V_1 = 4{,}00\\ \mathrm{m}^3,\quad T_1 = 400\\ \mathrm{K},\quad P_2 = 1{,}00\\ \text{atm}.
Perguntas (para a expansão adiabática reversível):
  • Volume final V_2.
  • Temperatura final T_2.
  • Trabalho realizado pelo gás W (sinal positivo se o gás realiza trabalho).
  • Calor trocado Q (absorvido ou cedido).
  • Variação da energia interna \Delta U.
Observação: as pressões estão em atm; para cálculos com a constante dos gases usarei o Sistema Internacional, convertendo atm para pascal quando necessário.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicados passo a passo, sem pular etapas):
  1. Gás monoatômico ideal:
  • Para 1 mol de um gás monoatômico ideal, a capacidade calorífica molar a volume constante é \displaystyle C_V=\tfrac{3}{2}R. Aqui R é a constante dos gases perfeitos e vale \displaystyle R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • A razão de capacidades caloríficas é \displaystyle \gamma=\frac{C_P}{C_V}. Para gás monoatômico ideal \displaystyle C_P=C_V+R=\tfrac{5}{2}R, logo
\gamma=\frac{5/2\,R}{3/2\,R}=\frac{5}{3}.
Explico: C_V mede quanto energia interna aumenta por mol quando a temperatura aumenta a volume constante; C_P mede quanto calor é necessário por mol para aumentar a temperatura a pressão constante. Para gases ideais essas relações dão \gamma.
  1. Processo adiabático reversível (isentópico para gás ideal):
  • Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale a lei
P V^{\gamma}=\text{constante}.
  • Equivalentes úteis:
T V^{\gamma-1}=\text{constante}\quad\text{ou}\quad T P^{(1-\gamma)/\gamma}=\text{constante}.
Essas relações vêm da combinação da equação de estado PV=nRT com a condição adiabática reversível P V^\gamma=\text{const}.
  1. Energia interna e trabalho:
  • Para gás ideal, a variação de energia interna por mol é \displaystyle \Delta U = n C_V (T_2-T_1).
  • Primeira lei da termodinâmica (com sinal convencional W positivo quando o sistema realiza trabalho): \displaystyle \Delta U = Q - W.
  • Em um processo adiabático Q=0, portanto \displaystyle W = -\Delta U = n C_V (T_1-T_2) (trabalho realizado pelo gás é a energia interna perdida).
Vou usar essas fórmulas para calcular V_2,\\ T_2,\\ W,\\ Q,\\ \Delta U.

Passo 3

Calcular \gamma explicitamente para usar nas relações:
\gamma = \frac{5}{3} \approx 1{,}6666667.
Também anoto \gamma-1 = \frac{2}{3} \approx 0{,}6666667 e \displaystyle \frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{2/3}{5/3}=\frac{2}{5}=0{,}4.

Passo 4

Calcular o volume final V_2 usando P_1 V_1^{\gamma}=P_2 V_2^{\gamma}.
Isolando V_2:
V_2 = V_1\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{1/\gamma}.
Substituindo números (antes converto razão de pressões; como é razão, atm cancela, posso usar diretamente P_1/P_2=8):
V_2 = 4{,}00\\ \mathrm{m}^3 \times 8^{1/\gamma}.
Como \gamma=5/3, temos 1/\gamma=3/5=0{,}6. Então
8^{0{,}6}= (2^3)^{0{,}6}=2^{1{,}8}\approx 3{,}4823.
Logo
V_2 \approx 4{,}00\times 3{,}4823 \approx 13{,}93\\ \mathrm{m}^3.
Explicando o cálculo: usei que 8^{0{,}6}=e^{0{,}6\ln 8} ou fatorizei 8=(2^3) para facilitar a conta mental com potências de 2.

Passo 5

Calcular a temperatura final T_2. Uso a relação \displaystyle T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} (pois T V^{\gamma-1}= const).
Substituindo:
T_2 = 400\\ \mathrm{K}\times\left(\frac{4{,}00}{13{,}93}\right)^{2/3}.
Faço os passos numéricos:
\frac{4{,}00}{13{,}93}\approx 0{,}2874.
Elevando à potência 2/3\approx 0{,}6666667:
0{,}2874^{0{,}6667}\approx 0{,}4356.
Portanto
T_2 \approx 400\times 0{,}4356 \approx 174{,}2\\ \mathrm{K}.
Observação: podia usar também T_2=T_1\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}=400\times(1/8)^{0{,}4}, que leva ao mesmo resultado.

Passo 6

Calcular o número de mols n usando a equação dos gases ideais \displaystyle P_1 V_1 = n R T_1.
Primeiro converto P_1 para pascal:
1\\ \text{atm}=1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa},
P_1 = 8{,}00\\ \text{atm} = 8{,}00\times 1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} \approx 8{,}106\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Agora
n = \frac{P_1 V_1}{R T_1} = \frac{8{,}106\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\times 4{,}00\\ \mathrm{m}^3}{8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}\times 400\\ \mathrm{K}}.
Calculo numérico:
P_1 V_1 = 8{,}106\times 10^{5}\times 4{,}00 = 3{,}2424\times 10^{6}\\ \mathrm{J}.
R T_1 = 8{,}314462618\times 400 = 3{,}325{,}785048\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
n \approx \frac{3{,}2424\times 10^{6}}{3{,}325{,}785048}\approx 975{,}2\\ \mathrm{mol}.
Interpretação: o recipiente contém cerca de 975{,}2 mols do gás.

Passo 7

Calcular o trabalho W realizado pelo gás durante a expansão adiabática reversível.
Como expliquei, em adiabático Q=0 e pela primeira lei \Delta U = -W. Também podemos usar diretamente a expressão
W = n C_V (T_1-T_2),
com C_V=\tfrac{3}{2}R.
Calculo C_V:
C_V=\tfrac{3}{2}R = \tfrac{3}{2}\times 8{,}314462618 \approx 12{,}4717\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Agora
W = n C_V (T_1-T_2) = 975{,}2\times 12{,}4717\times (400-174{,}2).
Diferença de temperaturas:
T_1-T_2 = 400-174{,}2 = 225{,}8\\ \mathrm{K}.
Produto:
12{,}4717\times 225{,}8 \approx 2{,}815{,}6\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
W \approx 975{,}2\times 2{,}815{,}6 \approx 2{,}747\times 10^{6}\\ \mathrm{J}.
Verificação alternativa (mesma resposta): usar fórmula
W=\frac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma-1}
com pressões em pascal e volumes em \mathrm{m}^3. Fiz essa verificação e obtive valor consistente W\approx 2{,}747\times 10^{6}\\ \mathrm{J}.
Interpretação do sinal: obtivemos W>0, ou seja, o gás realizou trabalho (expansão), retirando energia interna do gás.

Passo 8

Calor trocado Q e variação da energia interna \Delta U:
  • Por definição de processo adiabático reversível, Q=0. Ou seja, nenhum calor foi trocado com o ambiente.
  • A variação da energia interna é
\Delta U = n C_V (T_2-T_1).
Já calculamos n, C_V, T_1 e T_2, então:
\Delta U = 975{,}2\times 12{,}4717\times (174{,}2-400) = -2{,}747\times 10^{6}\\ \mathrm{J}.
Consistência com primeira lei:
\Delta U = Q - W = 0 - W = -W,
logo \Delta U é negativo e igual em módulo a W, o que confirma os cálculos.

Resposta

V_2 = 13{,}93\\ \mathrm{m}^3
T_2 = 174{,}2\\ \mathrm{K}
W = 2{,}747\times 10^{6}\\ \mathrm{J} (trabalho realizado pelo gás)
Q = 0
\Delta U = -2{,}747\times 10^{6}\\ \mathrm{J}

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