A equação de estado de um gás ideal é P V=n R T, em que n é o número de moles. Demonstre que:
a) \beta=\frac{1}{T}

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado do gás ideal
P V = n R T
com n o número de moles, R a constante dos gases, P a pressão, V o volume e T a temperatura. A pergunta é: demonstrar que \beta=\dfrac{1}{T}.
Listei as informações relevantes: P V = n R T (dado) e precisamos obter \beta (quantidade a demonstrar). Não resolvo nada aqui; só deixei claro o que é pedido e o que foi fornecido.

Passo 2

Definição de \beta. Aqui \beta é o coeficiente de dilatação térmica volumétrica (para variação à pressão constante), cuja definição matemática é
\beta = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Explicando: \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} é a taxa de variação do volume quando a temperatura muda, mantendo a pressão P fixa. O fator 1/V transforma essa taxa em uma variação relativa (por unidade de volume), então \beta tem unidade de \mathrm{K}^{-1}.

Passo 3

Isolar V da equação de estado para expressá-lo como função de T com P constante. A partir de
P V = n R T
temos
V = \frac{n R T}{P}.
Aqui fiz uma operação algébrica simples: dividi ambos os lados por P. Note que n e R são constantes e P será tratado como constante porque a definição de \beta pede derivada à pressão constante.

Passo 4

Calcular a derivada parcial \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}. Como V é dado por \displaystyle V=\frac{nR}{P}\,T, isso é uma função linear de T (para P fixo), então a derivada em relação a T é apenas o coeficiente multiplicador:
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} = \frac{n R}{P}.
Explicando passo a passo: quando uma função tem a forma V = a\,T com a constante, \mathrm dV/\mathrm dT = a. Aqui a = nR/P.

Passo 5

Substituir a derivada na definição de \beta. Usando
\beta = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}
e os resultados V=\dfrac{nR T}{P} e \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}=\dfrac{nR}{P}, obtemos
\beta = \frac{1}{\dfrac{n R T}{P}}\cdot\frac{n R}{P}.

Passo 6

Simplificar a expressão. Faço a divisão passo a passo:
\beta = \left(\frac{P}{n R T}\right)\left(\frac{n R}{P}\right).
Agora cancelei n R no numerador com n R no denominador e P no numerador com P no denominador, sobrando
\beta = \frac{1}{T}.
Physicamente isso significa que, para um gás ideal à pressão constante, a dilatação volumétrica relativa depende só da temperatura absoluta: quanto maior a temperatura, menor a variação relativa por grau (em unidades inversas de temperatura).

Passo 7

Checagem de unidades e exemplo numérico rápido (confirmação intuitiva). \beta tem unidade de \mathrm{K}^{-1}. Se T= \,300\\ \mathrm{K}, então \beta=1/300\\ \mathrm{K}^{-1}\approx 3{,}33\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}, que é um valor típico e faz sentido físico.

Resposta

\beta=\dfrac{1}{T}

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