A equação de estado de um gás ideal é
, em que n é o número de moles. Demonstre que:
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá a equação de estado do gás ideal
com
o número de moles,
a constante dos gases,
a pressão,
o volume e
a temperatura. A pergunta é: demonstrar que
.
Listei as informações relevantes: (dado) e precisamos obter
(quantidade a demonstrar). Não resolvo nada aqui; só deixei claro o que é pedido e o que foi fornecido.
Listei as informações relevantes:
Passo 2
Definição de
. Aqui
é o coeficiente de dilatação térmica volumétrica (para variação à pressão constante), cuja definição matemática é
Explicando:
é a taxa de variação do volume quando a temperatura muda, mantendo a pressão
fixa. O fator
transforma essa taxa em uma variação relativa (por unidade de volume), então
tem unidade de
.
Passo 3
Isolar
da equação de estado para expressá-lo como função de
com
constante. A partir de
temos
Aqui fiz uma operação algébrica simples: dividi ambos os lados por
. Note que
e
são constantes e
será tratado como constante porque a definição de
pede derivada à pressão constante.
Passo 4
Calcular a derivada parcial
. Como
é dado por
, isso é uma função linear de
(para
fixo), então a derivada em relação a
é apenas o coeficiente multiplicador:
Explicando passo a passo: quando uma função tem a forma
com
constante,
. Aqui
.
Passo 5
Substituir a derivada na definição de
. Usando
e os resultados
e
, obtemos
Passo 6
Simplificar a expressão. Faço a divisão passo a passo:
Agora cancelei
no numerador com
no denominador e
no numerador com
no denominador, sobrando
Physicamente isso significa que, para um gás ideal à pressão constante, a dilatação volumétrica relativa depende só da temperatura absoluta: quanto maior a temperatura, menor a variação relativa por grau (em unidades inversas de temperatura).
Passo 7
Checagem de unidades e exemplo numérico rápido (confirmação intuitiva).
tem unidade de
. Se
, então
, que é um valor típico e faz sentido físico.