Em um recipiente estão contidos dois gases diferentes, 1 e 2 , cujas moléculas possuem massas molares 2 m e 18 m , respectivamente. Considerando que o sistema dos dois gases esteja em equilíbrio térmico, assinale a alternativa que representa a relação entre a velocidade média das moléculas dos gases 1 e 2 .
a) v_{1}=3 v_{2}
b) 3 v_{1}=v_{2}
c) 9 v_{1}=v_{2}
d) v_{1}=9 v_{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação entre velocidades médias:
  • Há dois gases diferentes, chamados de gás 1 e gás 2.
  • As massas das moléculas são dadas por m_1 = 2m e m_2 = 18m (peguei esses valores diretamente do enunciado).
  • Os dois gases estão em equilíbrio térmico (ou seja, na mesma temperatura).
  • Pergunta: qual a relação entre as velocidades médias das moléculas do gás 1 e do gás 2? (ou seja, entre v_1 e v_2).

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicação bem didática):
Quando dois gases estão à mesma temperatura, a energia cinética média por molécula é a mesma para ambos. A teoria cinética dos gases diz que, para um gás monoatômico ideal em equilíbrio térmico, a energia cinética média por molécula vale
\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}k_B T,
onde:
  • m é a massa de uma molécula (não confundir com massa molar),
  • \overline{v^2} é a média do quadrado da velocidade (isso está ligado à velocidade quadrática média, chamada de v_{\mathrm{rms}}),
  • k_B é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura absoluta.
    Explicando em palavras: a temperatura mede a energia cinética média das partículas; se a temperatura é a mesma, a energia cinética média de cada tipo de molécula também é a mesma.

Passo 3

Escrevendo essa igualdade para cada gás (usei m_1 e m_2 como as massas das moléculas dadas pelo enunciado):
\frac{1}{2}m_1\overline{v_1^2}=\frac{3}{2}k_B T
\frac{1}{2}m_2\overline{v_2^2}=\frac{3}{2}k_B T
Aqui \overline{v_1^2} e \overline{v_2^2} são as médias dos quadrados das velocidades das moléculas do gás 1 e do gás 2, respectivamente.

Passo 4

Vamos eliminar \frac{3}{2}k_B T dividindo a primeira equação pela segunda. Fazendo isso:
\frac{\frac{1}{2}m_1\overline{v_1^2}}{\frac{1}{2}m_2\overline{v_2^2}} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{m_1\overline{v_1^2}}{m_2\overline{v_2^2}}=1.
Isolando a razão das velocidades quadráticas médias:
\frac{\sqrt{\overline{v_1^2}}}{\sqrt{\overline{v_2^2}}}=\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}.
Observação didática: \sqrt{\overline{v^2}} é a velocidade quadrática média (chamada de v_{\mathrm{rms}}). Então essa relação mostra que v_{\mathrm{rms}} é proporcional a 1/\sqrt{m}.

Passo 5

O enunciado pede a relação entre as “velocidades médias” v_1 e v_2. Dependendo do contexto, pode-se interpretar como velocidade média aritmética ou como velocidade quadrática média. A boa notícia é que tanto a velocidade quadrática média quanto a velocidade média (do Maxwell-Boltzmann) têm a mesma dependência com a massa: ambas são proporcionais a 1/\sqrt{m}. Para lembrar:
  • Velocidade quadrática média:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}.
  • Velocidade média (média do módulo da velocidade, \overline{v}):
\overline{v}=\sqrt{\frac{8k_B T}{\pi m}} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}.
Portanto, tanto faz usarmos a dependência da energia (passos anteriores) ou a fórmula explícita da velocidade média: a razão entre as velocidades dos dois gases depende apenas de \sqrt{m_2/m_1}.

Passo 6

Agora plugamos os valores dados: m_1=2m e m_2=18m. Calculamos a razão:
\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}=\sqrt{\frac{18m}{2m}}=\sqrt{9}=3.
Então concluímos que
v_1=3\,v_2.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: o gás 1 tem massa molecular \tfrac{1}{9} da massa do gás 2 (porque 2m vs 18m), então as moléculas mais leves se movem mais rápido. O fator é 3 porque a velocidade escala com a raiz quadrada do inverso da massa.

Resposta

a) v_{1}=3 v_{2}

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