Para um gás que obedeça a equação do virial truncada no segundo termo:
obtenha as seguintes derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos várias derivadas parciais relacionadas à energia interna $ U $, entropia $ S $ e entalpia $ H $ de um gás que segue a equação do virial truncada no segundo termo:
Aqui, $ P $ é a pressão, $ R $ é a constante dos gases, $ T $ é a temperatura, $ V $ é o volume, e $ B $ é o segundo coeficiente virial. Para resolver, vamos usar conceitos de termodinâmica, como as equações de Maxwell e as relações fundamentais entre as propriedades termodinâmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia interna $ U $ de um sistema depende apenas da temperatura $ T $ para um gás ideal. No entanto, como estamos usando a equação do virial, que leva em conta interações entre as moléculas, $ U $ pode depender também do volume $ V $. A derivada $ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} $ nos indica como a energia interna muda com o volume a temperatura constante.
Para encontrar essa derivada, usamos a relação termodinâmica:
Passo 3
Vamos calcular $ \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} $ a partir da equação do virial:
Derivando em relação a $ T $ mantendo $ V $ constante:
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na expressão para $ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} $:
Simplificando:
Isso indica que, para este gás virial, a energia interna não depende do volume a temperatura constante.
Passo 5
Agora, vamos encontrar $ \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{T} $. Usando a regra da cadeia:
Já que $ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = 0 $, então:
Passo 6
Vamos para a entropy $ S $. A derivada $ \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} $ pode ser encontrada usando a relação termodinâmica:
Já calculamos $ \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = \frac{R}{V} + \frac{B R}{V^{2}} $, então:
Passo 7
Para $ \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} $, usamos a relação:
Primeiro, precisamos encontrar $ \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} $. Da equação do virial:
Resolvendo para $ V $ em função de $ T $ e diferenciando:
Portanto:
Passo 8
Por fim, vamos para a entalpia $ H $. Sabemos que $ H = U + P V $. Então, as derivadas são:
Como $ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = 0 $, temos:
Calculando $ \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T} $:
Substituindo de volta:
Passo 9
Para $ \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} $, usamos:
Como $ \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{T} = 0 $, temos:
Antes, encontramos $ \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T} $:
Substituindo de volta:
Resposta
As derivadas solicitadas são: