Para um gás que obedeça a equação do virial truncada no segundo termo:
P=R TV+B R TV^2
obtenha as seguintes derivadas:
(partial Upartial V)T, (partial Upartial P)T, (partial Spartial V)T, (partial Spartial P)T, (partial Hpartial V)T, (partial Hpartial P)T

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos várias derivadas parciais relacionadas à energia interna $ U $, entropia $ S $ e entalpia $ H $ de um gás que segue a equação do virial truncada no segundo termo:
U
Aqui, $ P $ é a pressão, $ R $ é a constante dos gases, $ T $ é a temperatura, $ V $ é o volume, e $ B $ é o segundo coeficiente virial. Para resolver, vamos usar conceitos de termodinâmica, como as equações de Maxwell e as relações fundamentais entre as propriedades termodinâmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia interna $ U $ de um sistema depende apenas da temperatura $ T $ para um gás ideal. No entanto, como estamos usando a equação do virial, que leva em conta interações entre as moléculas, $ U $ pode depender também do volume $ V $. A derivada $ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} $ nos indica como a energia interna muda com o volume a temperatura constante.
Para encontrar essa derivada, usamos a relação termodinâmica:
U

Passo 3

Vamos calcular $ \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} $ a partir da equação do virial:
(partial Ppartial T)V
Derivando em relação a $ T $ mantendo $ V $ constante:
P = R TV + B R TV^2

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na expressão para $ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} $:
(partial Upartial V)T
Simplificando:
(partial Upartial V)T = T (RV + B RV^2) - (R TV + B R TV^2)
Isso indica que, para este gás virial, a energia interna não depende do volume a temperatura constante.

Passo 5

Agora, vamos encontrar $ \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{T} $. Usando a regra da cadeia:
(partial Upartial P)T
Já que $ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = 0 $, então:
(partial Upartial P)T = (partial Upartial V)T cdot (partial Vpartial P)T

Passo 6

Vamos para a entropy $ S $. A derivada $ \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} $ pode ser encontrada usando a relação termodinâmica:
S
Já calculamos $ \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = \frac{R}{V} + \frac{B R}{V^{2}} $, então:
(partial Spartial V)T

Passo 7

Para $ \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} $, usamos a relação:
(partial Spartial P)T
Primeiro, precisamos encontrar $ \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} $. Da equação do virial:
(partial Spartial P)T = -(partial Vpartial T)P
Resolvendo para $ V $ em função de $ T $ e diferenciando:
(partial Vpartial T)P
Portanto:
P = R TV + B R TV^2

Passo 8

Por fim, vamos para a entalpia $ H $. Sabemos que $ H = U + P V $. Então, as derivadas são:
H
Como $ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = 0 $, temos:
H = U + P V
Calculando $ \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T} $:
(partial Hpartial V)T = (partial Upartial V)T + P + V (partial Ppartial V)T
Substituindo de volta:
(partial Upartial V)T = 0

Passo 9

Para $ \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} $, usamos:
(partial Hpartial P)T
Como $ \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{T} = 0 $, temos:
(partial Hpartial P)T = (partial Upartial P)T + V + P (partial Vpartial P)T
Antes, encontramos $ \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T} $:
(partial Upartial P)T = 0
Substituindo de volta:
(partial Hpartial P)T = V + P (partial Vpartial P)T

Resposta

As derivadas solicitadas são:
(partial Upartial V)T = 0
(partial Upartial P)T = 0
(partial Spartial V)T = RV + B RV^2
(partial Spartial P)T = -RP + 2 B RV P
(partial Hpartial V)T = 0
(partial Hpartial P)T = V - R TP - 2 B R TV P

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