Gás
puro a 1 atm e
está escoando através de um tubo de borracha de 10 m de comprimento, 3 cm de diâmetro interno e 5 mm de espessura. Se
-borracha é igual a
bar e
. Considerando que a atmosfera é composta por
de
e
de
:
Encontre a equação diferencial que descreve a situação problema;
Encontre a equação diferencial que descreve a situação problema;
Passo 1
Beleza, então o que temos? Um gás de N₂ puro a 1 atm e 25 °C escoa por um tubo de borracha (10 m de comprimento, diâmetro interno de 3 cm e espessura de 5 mm). O gás pode atravessar a parede por difusão+solubilização.
Conteúdo: transferência de massa (membrana), lei de Fick e lei de Henry (solubilidade). Vamos usar:
‐ Lei de Fick (fluxo difusivo)
‐ Henry (concentração na borracha ∝ pressão)
‐ Geometria do tubo (área de parede por comprimento)
Conteúdo: transferência de massa (membrana), lei de Fick e lei de Henry (solubilidade). Vamos usar:
‐ Lei de Fick (fluxo difusivo)
‐ Henry (concentração na borracha ∝ pressão)
‐ Geometria do tubo (área de parede por comprimento)
Passo 2
Teoria passo a passo:
- Na membrana em regime estacionário, a lei de Fick diz que o fluxo molar por área J (kmol/m²·s) é
J = −D · dC/dy
onde D é a difusividade da espécie na borracha. - Pela lei de Henry (solubilidade S), a concentração na superfície interna da borracha é C₁ = S·p₁ e na externa C₂ = S·p₂, sendo p₁ a pressão parcial interna de N₂ e p₂ a pressão parcial externa (=0,71 atm).
- Aproximando o gradiente linear na espessura δ, temos
J = D·(C₁ − C₂)/δ = D·S·(p₁ − p₂)/δ. - Define-se permeabilidade P = D·S, então
J = (P/δ)·(p₁ − p₂).
Passo 3
Agora liga isso ao balanço de fluxo no tubo:
‐ Seja F(x) o fluxo molar de N₂ [kmol/s] no ponto x ao longo do tubo.
‐ Num pequeno trecho dx, sai pela parede uma quantidade dF = J·A_w, onde A_w = perímetro·dx = π·d_i·dx.
Portanto, em termos de derivada:
dF/dx = − J·π·d_i
Substituindo J:
dF/dx = −(P/δ)·(p(x) − p₂)·π·d_i
E p(x) é a pressão parcial de N₂ dentro do tubo (em bar ou atm, desde que consistente com S e D).
‐ Seja F(x) o fluxo molar de N₂ [kmol/s] no ponto x ao longo do tubo.
‐ Num pequeno trecho dx, sai pela parede uma quantidade dF = J·A_w, onde A_w = perímetro·dx = π·d_i·dx.
Portanto, em termos de derivada:
dF/dx = − J·π·d_i
Substituindo J:
dF/dx = −(P/δ)·(p(x) − p₂)·π·d_i
E p(x) é a pressão parcial de N₂ dentro do tubo (em bar ou atm, desde que consistente com S e D).
Resposta
A equação diferencial que descreve a variação do fluxo molar de N₂ ao longo do tubo é:
onde
• = fluxo molar de N₂ [kmol/s] no ponto
,
• = permeabilidade [m²/s·kmol/m³·bar],
• = espessura da parede (5 mm),
• = pressão parcial de N₂ no interior,
• = pressão parcial de N₂ do lado de fora,
• = diâmetro interno do tubo.
•
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