Gás N2 puro a 1 atm e 25^circ C está escoando através de um tubo de borracha de 10 m de comprimento, 3 cm de diâmetro interno e 5 mm de espessura. Se SN 2-borracha é igual a 1,8 times 10^-3 kmol / m^3 s bar e DN 2 -borracha: 1,5 times 10^-10 m^2 / s. Considerando que a atmosfera é composta por 71 % de N2 e 21 % de O2:
Encontre a equação diferencial que descreve a situação problema;

Passo 1

Beleza, então o que temos? Um gás de N₂ puro a 1 atm e 25 °C escoa por um tubo de borracha (10 m de comprimento, diâmetro interno de 3 cm e espessura de 5 mm). O gás pode atravessar a parede por difusão+solubilização.
Conteúdo: transferência de massa (membrana), lei de Fick e lei de Henry (solubilidade). Vamos usar:
‐ Lei de Fick (fluxo difusivo)
‐ Henry (concentração na borracha ∝ pressão)
‐ Geometria do tubo (área de parede por comprimento)

Passo 2

Teoria passo a passo:
  1. Na membrana em regime estacionário, a lei de Fick diz que o fluxo molar por área J (kmol/m²·s) é
    J = −D · dC/dy
    onde D é a difusividade da espécie na borracha.
  2. Pela lei de Henry (solubilidade S), a concentração na superfície interna da borracha é C₁ = S·p₁ e na externa C₂ = S·p₂, sendo p₁ a pressão parcial interna de N₂ e p₂ a pressão parcial externa (=0,71 atm).
  3. Aproximando o gradiente linear na espessura δ, temos
    J = D·(C₁ − C₂)/δ = D·S·(p₁ − p₂)/δ.
  4. Define-se permeabilidade P = D·S, então
    J = (P/δ)·(p₁ − p₂).

Passo 3

Agora liga isso ao balanço de fluxo no tubo:
‐ Seja F(x) o fluxo molar de N₂ [kmol/s] no ponto x ao longo do tubo.
‐ Num pequeno trecho dx, sai pela parede uma quantidade dF = J·A_w, onde A_w = perímetro·dx = π·d_i·dx.
Portanto, em termos de derivada:
dF/dx = − J·π·d_i
Substituindo J:
dF/dx = −(P/δ)·(p(x) − p₂)·π·d_i
E p(x) é a pressão parcial de N₂ dentro do tubo (em bar ou atm, desde que consistente com S e D).

Resposta

A equação diferencial que descreve a variação do fluxo molar de N₂ ao longo do tubo é:
boxed dF(x)dx ;=; -;D;Sde
onde
= fluxo molar de N₂ [kmol/s] no ponto ,
= permeabilidade [m²/s·kmol/m³·bar],
= espessura da parede (5 mm),
= pressão parcial de N₂ no interior,
= pressão parcial de N₂ do lado de fora,
= diâmetro interno do tubo.

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