A partir do balanço de energia do elemento de volume, derive a equação de condução de calor bidimensional transiente em coordenadas retangulares para
, com condutividade térmica constante e sem geração de calor.
Passo 1
Beleza, temos um probleminha de condução de calor em 2D e queremos chegar na famosona equação de condução transiente em coordenadas retangulares, isto é, derivar
onde:
- ρ é a densidade do material (kg/m³)
- c é o calor específico (J/kg·K)
- k é a condutividade térmica constante (W/m·K)
- T(x,y,t) é a temperatura
Não tem geração interna de calor.
O que a gente precisa:
1) Balanço de energia (primeira lei da termodinâmica) num volume diferencial dx·dy·dz (ou só dx·dy se considerarmos espessura unitária).
2) Lei de Fourier para condução:
3) Fazer conta de entradas e saídas de calor e igualar à taxa de acumulação.
Passo 2
Balanço de energia num elemento 2D de lados dx e dy (e espessura 1 em z):
(energia entrando por condução) – (energia saindo por condução) = (variação de energia armazenada).
Em x, o fluxo que entra pela face em x é
(energia entrando por condução) – (energia saindo por condução) = (variação de energia armazenada).
Em x, o fluxo que entra pela face em x é
e em y é
Escrevendo essas diferenças e somando, temos a taxa líquida de calor conduzido entrando no elemento.
Passo 3
Agora aplicamos a Lei de Fourier:
Logo, no eixo x a contribuição líquida é, aproximando por derivada:
e, de modo análogo, em y:
Como k é constante, dá pra tirar k para fora da derivada.
Passo 4
O lado direito do balanço é a taxa de variação de energia interna armazenada no volume dx·dy·1:
Montando tudo e dividindo por dx·dy:
Como k é constante, simplifica para
Resposta
Reorganizando, a equação de condução de calor bidimensional transiente em coordenadas retangulares (k constante, sem geração) fica:
Ou, em forma padrão,
$