A partir do balanço de energia do elemento de volume, derive a equação de condução de calor bidimensional transiente em coordenadas retangulares para T(x, y, t), com condutividade térmica constante e sem geração de calor.

Passo 1

Beleza, temos um probleminha de condução de calor em 2D e queremos chegar na famosona equação de condução transiente em coordenadas retangulares, isto é, derivar
rho c,partial Tpartial t = kl(partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2r)
onde:
- ρ é a densidade do material (kg/m³)
- c é o calor específico (J/kg·K)
- k é a condutividade térmica constante (W/m·K)
- T(x,y,t) é a temperatura
Não tem geração interna de calor.
O que a gente precisa:
1) Balanço de energia (primeira lei da termodinâmica) num volume diferencial dx·dy·dz (ou só dx·dy se considerarmos espessura unitária).
2) Lei de Fourier para condução: e .
3) Fazer conta de entradas e saídas de calor e igualar à taxa de acumulação.

Passo 2

Balanço de energia num elemento 2D de lados dx e dy (e espessura 1 em z):
(energia entrando por condução) – (energia saindo por condução) = (variação de energia armazenada).
Em x, o fluxo que entra pela face em x é
qxl|x-qxl|x+dx
e em y é
qyl|y-qyl|y+dy
Escrevendo essas diferenças e somando, temos a taxa líquida de calor conduzido entrando no elemento.

Passo 3

Agora aplicamos a Lei de Fourier:
qx = -k,partial Tpartial x, qy = -k,partial Tpartial y
Logo, no eixo x a contribuição líquida é, aproximando por derivada:
-partialpartial x!l(k,partial Tpartial xr),dx,dy
e, de modo análogo, em y:
-partialpartial y!l(k,partial Tpartial yr),dx,dy
Como k é constante, dá pra tirar k para fora da derivada.

Passo 4

O lado direito do balanço é a taxa de variação de energia interna armazenada no volume dx·dy·1:
rho,c,partial Tpartial t,dx,dy
Montando tudo e dividindo por dx·dy:
-partialpartial xl(k,partial Tpartial xr) - partialpartial yl(k,partial Tpartial yr) = rho,c,partial Tpartial t
Como k é constante, simplifica para
-kl(partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2r) = rho,c,partial Tpartial t

Resposta

Reorganizando, a equação de condução de calor bidimensional transiente em coordenadas retangulares (k constante, sem geração) fica:
boxedrho,c,partial Tpartial t = kl(partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2r)
Ou, em forma padrão,
$

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