Um gás tem pressão p_{0}, volume V_{0} e temperatura T_{0}. Ele realiza então uma expansão reversível a temperatura constante, indo de um volume V_{0} para V_{1}=2 V_{0}. a) Sabemos que, nesta expansão, a relação entre a pressão e o volume do gás é:
p=\frac{k}{V}
onde k é uma constante. Qual é a pressão quando o volume é V_{1} ? (dê a resposta em termos de p_{0} ). b) Calcule o trabalho realizado pelo gás nesta expansão. c) A seguir o gás se contrai a pressão constante, voltando a ter volume V_{0}. Calcule o trabalho realizado pelo gás nesta fase (dê a resposta em termos de p_{0} e V_{0} ). d) Finalmente o gás é aquecido a volume constante e volta a ter p_{0}, completando um ciclo fechado. Qual é o trabalho total realizado durante o ciclo? e) Desenhe o diagrama p \times V deste ciclo. f) Sabendo que a energia interna é uma função apenas da temperatura, determine qual é o calor trocado pelo gás na fase de expansão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados fornecidos:
  • O gás tem pressão inicial \,p_{0}\,, volume inicial \,V_{0}\, e temperatura inicial \,T_{0}\,.
  • O gás sofre uma expansão reversível isotérmica (temperatura constante) de \,V_{0}\, para \,V_{1}=2V_{0}\,.
  • Durante essa expansão a relação entre pressão e volume é \;p=\dfrac{k}{V}\;, com k constante.
  • Em seguida o gás é comprimido a pressão constante (voltando ao volume \,V_{0}\,).
  • Finalmente o gás é aquecido a volume constante até recuperar a pressão \,p_{0}\,, fechando o ciclo.
O enunciado pergunta:
a) Qual é a pressão quando o volume é \,V_{1}\,? (responder em termos de \,p_{0}\,).
b) Calcular o trabalho realizado pelo gás na expansão isotérmica V_{0}\to V_{1}.
c) Calcular o trabalho realizado pelo gás na compressão isotérmica (a pressão constante) voltando a V_{0} — expressar em termos de \,p_{0}\, e \,V_{0}\,.
d) Qual é o trabalho total realizado durante o ciclo fechado?
e) Desenhar (descrever) o diagrama p\times V do ciclo.
f) Sabendo que a energia interna depende apenas da temperatura, qual é o calor trocado pelo gás na fase de expansão?

Passo 2

a) Encontrar a pressão em \,V_{1}\,.
Explicação do que usar:
  • A relação dada é \;p=\dfrac{k}{V}\;. Essa é a equação de uma isoterma para um gás ideal onde k é a constante igual a nRT (mas aqui basta reconhecer que k é constante durante a isoterma).
  • Podemos determinar k usando as condições iniciais: quando V=V_{0} tem-se p=p_{0}. Então substitui-se para achar k.
Cálculo:
\text{Usando }p_{0}=\frac{k}{V_{0}}\quad\Rightarrow\quad k=p_{0}V_{0}.
Agora, a pressão em V_{1}=2V_{0} é
p(V_{1})=\frac{k}{V_{1}}=\frac{p_{0}V_{0}}{2V_{0}}=\frac{p_{0}}{2}.

Passo 3

b) Trabalho realizado pelo gás na expansão reversível isotérmica V_{0}\to V_{1}.
Aula rápida sobre trabalho em processos quasistáticos:
  • Para um processo quasistático (reversível) o trabalho realizado pelo gás ao variar o volume é dado por
W=\int_{V_{\text{inicial}}}^{V_{\text{final}}} p\,dV,
onde W é o trabalho feito pelo sistema (positivo se o gás realiza trabalho sobre o entorno). Aqui p depende de V.
Aplicação ao caso:
  • Temos p=\dfrac{k}{V} com k=p_{0}V_{0} (do passo anterior).
  • Então
W_{\text{exp}}=\int_{V_{0}}^{V_{1}}\frac{k}{V}\,dV =\;k\int_{V_{0}}^{V_{1}}\frac{1}{V}\,dV =\;k\left[\ln V\right]_{V_{0}}^{V_{1}} =\;k\ln\!\left(\frac{V_{1}}{V_{0}}\right).
Substituindo k=p_{0}V_{0} e V_{1}=2V_{0}:
W_{\text{exp}}=p_{0}V_{0}\ln\!\left(\frac{2V_{0}}{V_{0}}\right) =p_{0}V_{0}\ln 2.
Interpretação numérica qualitativa: como \ln 2\approx0{,}693, o trabalho é positivo (o gás realizou trabalho).

Passo 4

c) Trabalho realizado pelo gás na compressão a pressão constante, voltando de V_{1}=2V_{0} para V_{0}.
Aula rápida sobre trabalho em processo isobárico:
  • Se a pressão é constante e igual a p_{\text{const}}, o trabalho feito pelo gás ao alterar o volume de V_a para V_b é
W=p_{\text{const}}(V_b-V_a).
Aqui devemos tomar os limites na ordem correta: se o volume diminui (compressão), V_b<V_a e W será negativo (o gás recebe trabalho).
Aplicação ao caso:
  • A pressão constante durante a compressão é a pressão do estado inicial dessa fase, que é a pressão no ponto V_{1}. Pegamos do passo 2 que \;p(V_{1})=\dfrac{p_{0}}{2}\;. Logo p_{\text{const}}=p_{0}/2.
  • O gás vai de V_{1}=2V_{0} para V_{0}. Assim
W_{\text{comp}}=p_{\text{const}}(V_{0}-V_{1}) =\frac{p_{0}}{2}\bigl(V_{0}-2V_{0}\bigr) =\frac{p_{0}}{2}(-V_{0}) =-\frac{p_{0}V_{0}}{2}.
Ou seja, trabalho negativo: o gás recebe trabalho durante a compressão e o valor numérico é -p_{0}V_{0}/2.

Passo 5

d) Trabalho total durante o ciclo fechado.
Explicação:
  • O trabalho total realizado pelo gás num ciclo é a soma dos trabalhos em cada etapa do ciclo. A fase de aquecimento a volume constante não realiza trabalho (porque dV=0), então só somam as duas etapas que envolvem variação de volume: a expansão isotérmica e a compressão isobárica.
Cálculo:
W_{\text{total}}=W_{\text{exp}}+W_{\text{comp}}+W_{\text{isochoric}}.
Sabendo que W_{\text{isochoric}}=0, e usando os resultados anteriores:
W_{\text{total}}=p_{0}V_{0}\ln 2 - \frac{p_{0}V_{0}}{2} =p_{0}V_{0}\left(\ln 2 - \frac{1}{2}\right).
Observação numérica: \ln 2\approx0{,}693 então \ln 2-\tfrac{1}{2}\approx0{,}193>0, logo o ciclo realiza trabalho líquido positivo (a área orientada encerrada no diagrama p\times V).

Passo 6

e) Diagrama p\times V do ciclo (descrição para desenhar).
Descrição passo a passo do contorno do ciclo:
  • Começar no ponto A com coordenadas \,(V_{0},p_{0}).
  • Traçar uma curva descendente (isoterma do tipo p=\dfrac{k}{V}) de A até o ponto B em \,(2V_{0},p_{0}/2). Esta curva é uma hipérbole p\propto1/V, curva suave que vai para a direita e para baixo.
  • Do ponto B traçar uma reta horizontal para a esquerda (isóbara) a pressão \,p=\dfrac{p_{0}}{2}\, que liga V=2V_{0} até V=V_{0}.
  • Do ponto de retorno em \,(V_{0},p_{0}/2) traçar uma reta vertical para cima (isocórica) até \,(V_{0},p_{0}), fechando o ciclo.
  • O ciclo é percorrido no sentido horário: isoterma (expansão, para a direita), depois isóbara (compressão, para a esquerda), depois isocora (aquecimento, subida vertical). A área fechada entre essas curvas é o trabalho líquido realizado pelo gás.

Passo 7

f) Calor trocado pelo gás na fase de expansão (isotérmica), sabendo que a energia interna depende apenas da temperatura.
Aula rápida sobre energia interna e primeira lei:
  • A primeira lei da termodinâmica (forma usual) é
\Delta U=Q-W,
onde \Delta U é a variação da energia interna do sistema, Q é o calor fornecido ao sistema, e W é o trabalho realizado pelo sistema (na convenção que usamos).
  • Para um gás cuja energia interna depende apenas da temperatura (caso do gás ideal), uma transformação isotérmica ( \Delta T=0) implica \Delta U=0.
  • Assim, para a expansão isotérmica temos \Delta U=0 e portanto
0=Q_{\text{exp}}-W_{\text{exp}}\quad\Rightarrow\quad Q_{\text{exp}}=W_{\text{exp}}.
Usando o resultado do passo 3:
Q_{\text{exp}}=p_{0}V_{0}\ln 2.
Isso significa que, durante a expansão isotérmica, todo o calor fornecido ao gás foi convertido em trabalho realizado pelo gás (sem mudança na energia interna).

Resposta

a) \displaystyle p(V_{1})=\frac{p_{0}}{2}
b) \displaystyle W_{\text{exp}}=p_{0}V_{0}\ln 2
c) \displaystyle W_{\text{comp}}=-\frac{p_{0}V_{0}}{2}
d) \displaystyle W_{\text{total}}=p_{0}V_{0}\!\left(\ln 2-\frac{1}{2}\right)
e) Diagrama p\times V: curva isoterma de (V_{0},p_{0}) até (2V_{0},p_{0}/2) (hipérbole p\propto1/V), depois reta horizontal (isóbara) em p=p_{0}/2 de V=2V_{0} a V=V_{0}, depois reta vertical (isocora) em V=V_{0} de p=p_{0}/2 a p=p_{0}, fechando o ciclo no sentido horário.
f) \displaystyle Q_{\text{exp}}=p_{0}V_{0}\ln 2

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