Um gás tem pressão
, volume
e temperatura
. Ele realiza então uma expansão reversível a temperatura constante, indo de um volume
para
. a) Sabemos que, nesta expansão, a relação entre a pressão e o volume do gás é:
onde
é uma constante. Qual é a pressão quando o volume é
? (dê a resposta em termos de
). b) Calcule o trabalho realizado pelo gás nesta expansão. c) A seguir o gás se contrai a pressão constante, voltando a ter volume
. Calcule o trabalho realizado pelo gás nesta fase (dê a resposta em termos de
e
). d) Finalmente o gás é aquecido a volume constante e volta a ter
, completando um ciclo fechado. Qual é o trabalho total realizado durante o ciclo? e) Desenhe o diagrama
deste ciclo. f) Sabendo que a energia interna é uma função apenas da temperatura, determine qual é o calor trocado pelo gás na fase de expansão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados fornecidos:
- O gás tem pressão inicial
, volume inicial e temperatura inicial . - O gás sofre uma expansão reversível isotérmica (temperatura constante) de
para . - Durante essa expansão a relação entre pressão e volume é
, com constante. - Em seguida o gás é comprimido a pressão constante (voltando ao volume
). - Finalmente o gás é aquecido a volume constante até recuperar a pressão
, fechando o ciclo.
O enunciado pergunta:
a) Qual é a pressão quando o volume é ? (responder em termos de
).
b) Calcular o trabalho realizado pelo gás na expansão isotérmica .
c) Calcular o trabalho realizado pelo gás na compressão isotérmica (a pressão constante) voltando a — expressar em termos de
e
.
d) Qual é o trabalho total realizado durante o ciclo fechado?
e) Desenhar (descrever) o diagrama do ciclo.
f) Sabendo que a energia interna depende apenas da temperatura, qual é o calor trocado pelo gás na fase de expansão?
a) Qual é a pressão quando o volume é
b) Calcular o trabalho realizado pelo gás na expansão isotérmica
c) Calcular o trabalho realizado pelo gás na compressão isotérmica (a pressão constante) voltando a
d) Qual é o trabalho total realizado durante o ciclo fechado?
e) Desenhar (descrever) o diagrama
f) Sabendo que a energia interna depende apenas da temperatura, qual é o calor trocado pelo gás na fase de expansão?
Passo 2
a) Encontrar a pressão em
.
Explicação do que usar:
- A relação dada é
. Essa é a equação de uma isoterma para um gás ideal onde é a constante igual a (mas aqui basta reconhecer que é constante durante a isoterma). - Podemos determinar
usando as condições iniciais: quando tem-se . Então substitui-se para achar .
Cálculo:
Agora, a pressão em
é
Passo 3
b) Trabalho realizado pelo gás na expansão reversível isotérmica
.
Aula rápida sobre trabalho em processos quasistáticos:
- Para um processo quasistático (reversível) o trabalho realizado pelo gás ao variar o volume é dado por
onde
é o trabalho feito pelo sistema (positivo se o gás realiza trabalho sobre o entorno). Aqui
depende de
.
Aplicação ao caso:
- Temos
com (do passo anterior). - Então
Substituindo
e
:
Interpretação numérica qualitativa: como
, o trabalho é positivo (o gás realizou trabalho).
Passo 4
c) Trabalho realizado pelo gás na compressão a pressão constante, voltando de
para
.
Aula rápida sobre trabalho em processo isobárico:
- Se a pressão é constante e igual a
, o trabalho feito pelo gás ao alterar o volume de para é
Aqui devemos tomar os limites na ordem correta: se o volume diminui (compressão),
e
será negativo (o gás recebe trabalho).
Aplicação ao caso:
- A pressão constante durante a compressão é a pressão do estado inicial dessa fase, que é a pressão no ponto
. Pegamos do passo 2 que . Logo . - O gás vai de
para . Assim
Ou seja, trabalho negativo: o gás recebe trabalho durante a compressão e o valor numérico é
.
Passo 5
d) Trabalho total durante o ciclo fechado.
Explicação:
- O trabalho total realizado pelo gás num ciclo é a soma dos trabalhos em cada etapa do ciclo. A fase de aquecimento a volume constante não realiza trabalho (porque
), então só somam as duas etapas que envolvem variação de volume: a expansão isotérmica e a compressão isobárica.
Cálculo:
Sabendo que
, e usando os resultados anteriores:
Observação numérica:
então
, logo o ciclo realiza trabalho líquido positivo (a área orientada encerrada no diagrama
).
Passo 6
e) Diagrama
do ciclo (descrição para desenhar).
Descrição passo a passo do contorno do ciclo:
- Começar no ponto A com coordenadas
. - Traçar uma curva descendente (isoterma do tipo
) de A até o ponto B em . Esta curva é uma hipérbole , curva suave que vai para a direita e para baixo. - Do ponto B traçar uma reta horizontal para a esquerda (isóbara) a pressão
que liga até . - Do ponto de retorno em
traçar uma reta vertical para cima (isocórica) até , fechando o ciclo. - O ciclo é percorrido no sentido horário: isoterma (expansão, para a direita), depois isóbara (compressão, para a esquerda), depois isocora (aquecimento, subida vertical). A área fechada entre essas curvas é o trabalho líquido realizado pelo gás.
Passo 7
f) Calor trocado pelo gás na fase de expansão (isotérmica), sabendo que a energia interna depende apenas da temperatura.
Aula rápida sobre energia interna e primeira lei:
- A primeira lei da termodinâmica (forma usual) é
onde
é a variação da energia interna do sistema,
é o calor fornecido ao sistema, e
é o trabalho realizado pelo sistema (na convenção que usamos).
- Para um gás cuja energia interna depende apenas da temperatura (caso do gás ideal), uma transformação isotérmica (
) implica . - Assim, para a expansão isotérmica temos
e portanto
Usando o resultado do passo 3:
Isso significa que, durante a expansão isotérmica, todo o calor fornecido ao gás foi convertido em trabalho realizado pelo gás (sem mudança na energia interna).
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) Diagrama
: curva isoterma de
até
(hipérbole
), depois reta horizontal (isóbara) em
de
a
, depois reta vertical (isocora) em
de
a
, fechando o ciclo no sentido horário.
f)