(Total: \mathbf{2 , 0} pontos) Um bloco de 20,0 \mathrm{~g} com uma carga de +8,00 \times 10^{-5} \mathrm{C} é submetido a um campo elétrico \vec{E}=(-3000 \hat{i}+600 \hat{j}) N / C. Determine: a) o módulo da força eletrostática que age sobre o bloco; b) a orientação (em relação ao semieixo x positivo) da força eletrostática que age sobre o bloco. Se o bloco é liberado no ponto 3,0 \mathrm{~cm} na coordenada x e 5,0 \mathrm{~cm} na coordenada y, a partir do repouso, no instante t=0, determine c) a coordenada x e (d) a coordenada y do bloco no instante t=7,00 s.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados são fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Dados fornecidos:
    • Massa do bloco: m=20,0\\ \mathrm{g}.
    • Carga elétrica do bloco: q=+8,00\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
    • Campo elétrico: \vec{E}=(-3000\,\hat{i}+600\,\hat{j})\\ \mathrm{N/C}.
    • Posição inicial: x_0=3,0\\ \mathrm{cm}, y_0=5,0\\ \mathrm{cm}.
    • Velocidade inicial: bloco parte do repouso, ou seja v_{0x}=0, v_{0y}=0.
    • Instante em que se quer a posição: t=7,00\\ \mathrm{s}.
  • O enunciado pede:
    (a) o módulo da força eletrostática que age sobre o bloco;
    (b) a orientação dessa força em relação ao semieixo x positivo;
    (c) a coordenada x do bloco no instante t=7,00\\ \mathrm{s};
    (d) a coordenada y do bloco no instante t=7,00\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro, converto unidades onde for conveniente para trabalhar no SI:
m=20,0\\ \mathrm{g}=0,0200\\ \mathrm{kg}, \qquad x_0=3,0\\ \mathrm{cm}=0,0300\\ \mathrm{m}, \qquad y_0=5,0\\ \mathrm{cm}=0,0500\\ \mathrm{m}.
Explicação rápida: para passar de gramas para quilogramas divide-se por 1000. Para passar de centímetros para metros divide-se por 100.

Passo 3

Para encontrar a força eletrostática sobre uma carga num campo elétrico usamos a relação fundamental (vetorial):
\vec{F}=q\,\vec{E}.
Aqui:
  • \vec{F} é a força exercida sobre a carga (em newtons, \mathrm{N});
  • q é a carga elétrica (em coulombs, \mathrm{C});
  • \vec{E} é o campo elétrico (em \mathrm{N/C}).
Aplicando componente a componente (produto escalar por componente do vetor):
F_x=qE_x,\qquad F_y=qE_y.
Substituindo os números (peguei q e \vec{E} do enunciado):
F_x=(8,00\times10^{-5})\cdot(-3000)=-0,24\\ \mathrm{N},
F_y=(8,00\times10^{-5})\cdot600=0,048\\ \mathrm{N}.
Portanto o vetor força é
\vec{F}=(-0,24\,\hat{i}+0,048\,\hat{j})\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Agora calculo o módulo da força. A magnitude de um vetor com componentes F_x e F_y é dada por:
|\vec{F}|=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}.
Explicação: isto vem do teorema de Pitágoras aplicado às componentes ortogonais do vetor.
Substituindo os valores:
|\vec{F}|=\sqrt{(-0,24)^{2}+(0,048)^{2}} =\sqrt{0,0576+0,002304} =\sqrt{0,059904}\approx0,2448\\ \mathrm{N}.
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com os dados), fica
|\vec{F}|\approx0,245\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Agora a orientação da força em relação ao semieixo x positivo. A direção (ângulo \theta) pode ser obtida por:
\theta=\operatorname{atan2}(F_y,F_x),
onde \operatorname{atan2} cuida do quadrante. Explicando de forma prática: primeiro calculo a tangente absoluta
\tan\varphi=\left|\dfrac{F_y}{F_x}\right|
e depois determino o quadrante observando os sinais de F_x e F_y.
Aqui F_x=-0,24 (negativo) e F_y=0,048 (positivo), ou seja, a força está no segundo quadrante (à esquerda do eixo y e acima do eixo x). Calculo o ângulo agudo:
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{0,048}{0,24}\right)=\arctan(0,2)\approx11,31^\circ.
Como estamos no segundo quadrante, o ângulo medido a partir do semieixo x positivo no sentido anti-horário é
\theta=180^\circ-\varphi\approx180^\circ-11,31^\circ=168,69^\circ.
Arredondando de maneira consistente, podemos escrever
\theta\approx168,7^\circ.

Passo 6

Agora passo à parte do movimento. A força produz uma aceleração constante dada por a segunda lei de Newton:
\vec{F}=m\vec{a}\quad\Rightarrow\quad \vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m}.
Cada componente:
a_x=\dfrac{F_x}{m},\qquad a_y=\dfrac{F_y}{m}.
Substituindo m=0,0200\\ \mathrm{kg}, F_x=-0,24\\ \mathrm{N}, F_y=0,048\\ \mathrm{N}:
a_x=\dfrac{-0,24}{0,0200}=-12\\ \mathrm{m/s^{2}},
a_y=\dfrac{0,048}{0,0200}=2,4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: aceleração negativa em x (vai para a esquerda) e positiva em y (vai para cima).

Passo 7

As equações do movimento com aceleração constante (uma dimensão de cada vez) são:
x(t)=x_0+v_{0x}t+\tfrac{1}{2}a_x t^{2},
y(t)=y_0+v_{0y}t+\tfrac{1}{2}a_y t^{2}.
Aqui:
  • x_0,y_0 são as posições iniciais;
  • v_{0x},v_{0y} são as velocidades iniciais (aqui são zero);
  • a_x,a_y são as acelerações (calculadas no passo anterior);
  • t é o tempo.
Como v_{0x}=v_{0y}=0, as fórmulas ficam simplesmente:
x(t)=x_0+\tfrac{1}{2}a_x t^{2}, \qquad y(t)=y_0+\tfrac{1}{2}a_y t^{2}.

Passo 8

Calculo x(7,00\\ \mathrm{s}). Substituindo x_0=0,0300\\ \mathrm{m}, a_x=-12\\ \mathrm{m/s^{2}}, t=7,00\\ \mathrm{s}:
x(7,00)=0,0300+\tfrac{1}{2}(-12)\,(7,00)^{2} =0,0300-6\cdot49 =0,0300-294 =-293,97\\ \mathrm{m}.
Arredondando para três algarismos significativos:
x(7,00)\approx-294\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Calculo y(7,00\\ \mathrm{s}). Substituindo y_0=0,0500\\ \mathrm{m}, a_y=2,4\\ \mathrm{m/s^{2}}, t=7,00\\ \mathrm{s}:
y(7,00)=0,0500+\tfrac{1}{2}(2,4)\,(7,00)^{2} =0,0500+1,2\cdot49 =0,0500+58,8 =58,85\\ \mathrm{m}.
Arredondando para três algarismos significativos:
y(7,00)\approx58,9\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) 0,245\\ \mathrm{N}
b) 168,7^\circ
c) x(7,00\\ \mathrm{s})\approx-294\\ \mathrm{m}
d) y(7,00\\ \mathrm{s})\approx58,9\\ \mathrm{m}

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