Uma panela de ferro contendo água em ebulição a 100^{\circ} \mathrm{C}, está sobre uma chama. O fundo da panela é um quadrado de lado 10 cm e sua espessura é de 8 mm . A condutividade térmica do ferro é 0.8 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{s} \mathrm{cm}{ }^{0} \mathrm{C}\right). A panela vaporiza um litro de água em 9 minutos e sua densidade é 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Suponha que o calor de vaporização da água seja 540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}. A que temperatura está o fundo da panela?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a que temperatura está o fundo da panela (temperatura da superfície quente, do lado da chama). Dados fornecidos:
  • lado do fundo da panela: 10\\ \mathrm{cm} (logo a área do fundo é A=(10\\ \mathrm{cm})^{2});
  • espessura do fundo: 8\\ \mathrm{mm};
  • condutividade térmica do ferro: k=0{,}8\\ \dfrac{\mathrm{cal}}{\mathrm{s\\ cm\\ ^\circ C}};
  • a panela vaporiza 1 litro de água em 9 minutos;
  • densidade da água: 1\\ \dfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^{3}};
  • calor latente de vaporização da água: 540\\ \dfrac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}};
  • temperatura da água em ebulição (superfície interna): 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Calcular a massa de água que foi vaporizada.
Explicação: 1 litro =\!1000\\ \mathrm{cm}^{3}. Com densidade \rho=1\\ \mathrm{g/cm^{3}}, a massa m em gramas é o produto do volume pela densidade.
m = \rho \times V = 1\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^{3}} \times 1000\\ \mathrm{cm}^{3} = 1000\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Calcular a energia necessária para vaporizar essa massa.
Explicação: a energia (calor) necessária para vaporizar massa m é Q = m \times L_v, onde L_v é o calor latente (em \mathrm{cal/g}).
Q = 1000\\ \mathrm{g} \times 540\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}} = 540000\\ \mathrm{cal}.

Passo 4

Calcular a potência média (taxa de calor) fornecida pela chama.
Explicação: potência é energia por tempo. O enunciado dá o tempo de 9 minutos; converter para segundos para usar unidades de segundos nas unidades de k.
t = 9\\ \text{min} = 9\times60\\ \mathrm{s} = 540\\ \mathrm{s}.
\dot{Q} = \frac{Q}{t} = \frac{540000\\ \mathrm{cal}}{540\\ \mathrm{s}} = 1000\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{s}}.
Comentário intuitivo: ou seja, a chama fornece, em média, 1000\\ \mathrm{cal/s} à panela.

Passo 5

Relacionar a potência com a condução térmica pela base da panela (lei de condução unidimensional).
Explicação da lei usada: para condução térmica estacionária e unidimensional num plano de área A e espessura L, a taxa de transferência de calor é dada por uma forma da Lei de Fourier:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{T_{\text{fundo}} - T_{\text{água}}}{L},á
onde:
  • \dot{Q} é a potência (taxa de calor) em \mathrm{cal/s};
  • k é a condutividade térmica (aqui em \mathrm{cal}/(\mathrm{s\\ cm\\ ^\circ C}));
  • A é a área através da qual o calor passa (em \mathrm{cm}^{2});
  • L é a espessura do material (em \mathrm{cm});
  • T_{\text{fundo}} é a temperatura da superfície quente (do lado da chama) que queremos achar;
  • T_{\text{água}}á é a temperatura do lado frio (a água em ebulição), aqui 100^\circ\mathrm{C}.
Explicação simples do porquê: quanto maior a diferença de temperatura entre as faces, maior o fluxo; quanto maior a espessura, menor o fluxo; a condutividade k mede a facilidade com que o material deixa passar calor.

Passo 6

Calcular os parâmetros geométricos e substituir na equação.
Área do fundo:
A = (10\\ \mathrm{cm})^{2} = 100\\ \mathrm{cm}^{2}.
Espessura convertida para centímetros:
L = 8\\ \mathrm{mm} = 0{,}8\\ \mathrm{cm}.
Agora isolamos T_{\text{fundo}} na equação da condução:
T_{\text{fundo}} = T_{\text{água}} + \frac{\dot{Q}\,L}{k\,A}.á

Passo 7

Fazer as contas numéricas passo a passo.
Substituindo \dot{Q}=1000\\ \mathrm{cal/s}, L=0{,}8\\ \mathrm{cm}, k=0{,}8\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{s\\ cm\\ ^\circ C}), A=100\\ \mathrm{cm}^{2} e T_{\text{água}}=100^\circ\mathrm{C}á:
\Delta T \equiv T_{\text{fundo}}-T_{\text{água}} = \frac{1000\cdot 0{,}8}{0{,}8\cdot 100}.á
Calcular numerador e denominador separadamente:
1000\cdot 0{,}8 = 800, \qquad 0{,}8\cdot 100 = 80.
\Delta T = \frac{800}{80} = 10\\ ^\circ\mathrm{C}.
Portanto
T_{\text{fundo}} = 100^\circ\mathrm{C} + 10^\circ\mathrm{C} = 110^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação e checagem rápida.
  • Resultado faz sentido físico: o fundo precisa estar mais quente que 100^\circ\mathrm{C} para conduzir calor para vaporizar água; 110^\circ\mathrm{C} é razoável.
  • Observações sobre aproximações feitas (importante para prova): assumiu-se regime estacionário (temperatura do fundo constante no tempo) e que toda a potência fornecida pela chama atravessa o metal e vai para a vaporização (ignorou-se perdas por convecção/ radiação para o ambiente e resistências térmicas de contato). Em exercícios de prova isso é comum e justificável se nada mais for dito.

Resposta

110^\circ\mathrm{C}

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