Para um gás em que todas as moléculas se deslocam com a mesma velocidade
, mostre que
, em vez de
. que é o resultado obtido quando se considera a distribuição real de velocidades).
Passo 1
O enunciado pede a velocidade média relativa
entre duas moléculas de um gás em que todas as moléculas têm a mesma rapidez
mas direções aleatórias. O conteúdo é cálculo de valor esperado de
para duas vetores de módulo fixo e direções isotrópicas.
Passo 2
Sejam
e
os vetores velocidade de duas moléculas, ambos com módulo
. O ângulo entre eles é
. Então
Passo 3
Em três dimensões, para duas direções aleatórias, o ângulo
tem densidade
Logo o valor esperado de
é
Usando
e
simplificamos o integrando.
Passo 4
Substituindo as identidades:
Fazendo
,
, e
:
Passo 5
Concluímos que, no caso de rapidez fixa e direções aleatórias,
em vez de
, que surge quando se considera a distribuição real de Maxwell de velocidades.