Para um gás em que todas as moléculas se deslocam com a mesma velocidade v méd é, mostre que v rel =43 v méd é, em vez de raiz2 v méd é. que é o resultado obtido quando se considera a distribuição real de velocidades).

Passo 1

O enunciado pede a velocidade média relativa ,vrel entre duas moléculas de um gás em que todas as moléculas têm a mesma rapidez ,vmédé mas direções aleatórias. O conteúdo é cálculo de valor esperado de lvert v1 - v2rvert para duas vetores de módulo fixo e direções isotrópicas.

Passo 2

Sejam v1 e v2 os vetores velocidade de duas moléculas, ambos com módulo ,vmédé. O ângulo entre eles é theta. Então
lvert v1 - v2rvert = raizvméd^2 + vméd^2 - 2,vméd^2costheta = vmédraiz2(1-costheta) éééé

Passo 3

Em três dimensões, para duas direções aleatórias, o ângulo thetain[0,pi] tem densidade
p(theta)=tfrac12sintheta
Logo o valor esperado de lvert v1- v2rvert é
vrel =integral0^pi vmédraiz2(1-costheta);12sintheta;dtheta é
Usando raiz2(1-costheta)=2sin!tfractheta2 e sintheta=2sin!tfractheta2cos!tfractheta2 simplificamos o integrando.

Passo 4

Substituindo as identidades:
vrel = vmédintegral0^pi2sin!tfractheta2;12;2sin!tfractheta2cos!tfractheta2;dtheta =2,vmédintegral0^pisin^2!tfractheta2cos!tfractheta2;dtheta éé
Fazendo x=tfractheta2, dtheta=2,dx, e u=sin x:
vrel =2,vmédintegral0^tfracpi22sin^2xcos x;dx =4,vmédintegral0^1u^2,du =4,vmédcdottfrac13 =tfrac43,vméd éééé

Passo 5

Concluímos que, no caso de rapidez fixa e direções aleatórias,
vrel=tfrac43,vméd, é
em vez de raiz2,vmédé, que surge quando se considera a distribuição real de Maxwell de velocidades.

Resposta

vrel = 43,vméd é

Exercícios relacionados