Um gás de volume \mathrm{V}_{1} e pressão \mathrm{P}_{1} sofre uma transformação isobárica de uma temperatura T_{1} até uma temperatura T_{2}=3 T_{1}. Em seguida, sofre uma compressão isotérmica até o volume \mathrm{V}_{3}=2 \mathrm{~V}_{1}. Qual a relação entre \mathrm{P}_{1} e \mathrm{P}_{3} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um gás tem volume inicial \mathrm{V}_1 e pressão inicial \mathrm{P}_1.
  • O gás é aquecido isobaricamente (pressão constante) da temperatura T_1 até T_2 = 3T_1.
  • Depois, o gás sofre uma compressão isotérmica (temperatura constante) até o volume final \mathrm{V}_3 = 2\mathrm{V}_1.
    A pergunta é: qual a relação entre \mathrm{P}_1 e \mathrm{P}_3 ?

Passo 2

Vamos usar a equação do gás ideal para relacionar pressão, volume e temperatura:
P V = n R T
onde:
  • P é a pressão do gás,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de matéria (número de mols),
  • R é a constante dos gases ideais,
  • T é a temperatura absoluta.
    Duas consequências úteis desta lei:
  • Em processo isobárico ( P constante): V \propto T, ou seja \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{T_2}{T_1}.
  • Em processo isotérmico ( T constante): P V = constante, ou seja P_2 V_2 = P_3 V_3.

Passo 3

Aplicando a ideia do processo isobárico entre os estados 1 e 2 (pressão igual a \mathrm{P}_1):
Escrevo a lei do gás para o estado 1 e para o estado 2:
P_1 V_1 = n R T_1
P_1 V_2 = n R T_2
Dividindo a segunda pela primeira:
\frac{V_2}{V_1}=\frac{T_2}{T_1}.
Como T_2=3T_1, segue que
\frac{V_2}{V_1}=3 \quad\Rightarrow\quad V_2 = 3V_1.

Passo 4

Resumo do estado 2 (início da compressão isotérmica):
  • P_2 = P_1 (isobárico anterior),
  • V_2 = 3V_1,
  • T_2 = 3T_1 (temperatura que será mantida na isotérmica).

Passo 5

Agora a compressão é isotérmica a temperatura T_2. Para um processo isotérmico vale:
P_2 V_2 = P_3 V_3.
Isolando P_3:
P_3 = P_2\frac{V_2}{V_3}.
Substituindo P_2=P_1, V_2=3V_1 e V_3=2V_1:
P_3 = P_1 \frac{3V_1}{2V_1} = \frac{3}{2}P_1.

Resposta

P_{3}=\dfrac{3}{2}P_{1}

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