Como os gases na atmosfera estão distribuídos de modo diferente, de acordo com suas massas molares, a percentagem média de cada gás é diferente da percentagem no nível do solo. São dados os valores ( xi^0 ) das frações molares ao nível do solo. Deduza uma relação entre a fração molar média do gás na atmosfera e as frações molares ao nível do solo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: ao nível do solo cada gás tem uma fração molar , mas conforme a gente sobe, os gases vão se “separando” porque têm massas molares diferentes. A ideia é achar a fração molar média de cada gás ao longo de toda a atmosfera, em função desses .
Conteúdo e o que vamos usar:
  • Lei dos gases ideais
  • Equilíbrio hidrostático (barométrica)
  • Noções de densidade e coluna de ar
    Vai rolar um pouquinho de cálculo de exponencial e de integral, mas nada muito pesado.

Passo 2

Primeiro a gente lembra que, em equilíbrio hidrostático e temperatura constante, a pressão parcial do gás decai com a altitude assim:

onde

é a altura de escala do gás , é a constante dos gases, temperatura, gravidade e a massa molar de .
Como a fração molar ao nível do solo é , e a densidade de número (número de moléculas por volume) também decai do mesmo jeito:

Passo 3

Para achar a “quantidade total” do gás Ni ;=;integral0^infty ni(z),dz ;=;ni(0),integral0^infty e^-z/Hi,dz ;=;ni(0),Hi na coluna de ar (de Ni = xi^0,p(0)R,T;Hi = xi^0,p(0)R,T;R,TMi,g = xi^0,p(0)Mi,g até ), integramos a densidade:
Mas vem da lei dos gases ideais:

Substituindo:

Passo 4

Agora vem o pulo do gato: a fração molar média do gás bar xi =Nisumj Nj =xi^0,p(0)Mi,g sumjxj^0,p(0)Mj,g =xi^0Mi sumjxj^0Mj na atmosfera é a “fração” desse em relação ao somatório de todas as colunas :

Resposta

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