Como os gases na atmosfera estão distribuídos de modo diferente, de acordo com suas massas molares, a percentagem média de cada gás é diferente da percentagem no nível do solo. São dados os valores (
) das frações molares ao nível do solo. Deduza uma relação entre a fração molar média do gás na atmosfera e as frações molares ao nível do solo.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: ao nível do solo cada gás tem uma fração molar
, mas conforme a gente sobe, os gases vão se “separando” porque têm massas molares diferentes. A ideia é achar a fração molar média de cada gás ao longo de toda a atmosfera, em função desses
.
Conteúdo e o que vamos usar:
Conteúdo e o que vamos usar:
- Lei dos gases ideais
- Equilíbrio hidrostático (barométrica)
- Noções de densidade e coluna de ar
Vai rolar um pouquinho de cálculo de exponencial e de integral, mas nada muito pesado.
Passo 2
Primeiro a gente lembra que, em equilíbrio hidrostático e temperatura constante, a pressão parcial do gás
decai com a altitude
assim:
onde
é a altura de escala do gás ,
é a constante dos gases,
temperatura,
gravidade e
a massa molar de
.
Como a fração molar ao nível do solo é , e a densidade de número (número de moléculas por volume) também decai do mesmo jeito:
onde
é a altura de escala do gás
Como a fração molar ao nível do solo é
Passo 3
Para achar a “quantidade total” do gás
na coluna de ar (de
até
), integramos a densidade:
Mas
vem da lei dos gases ideais:
Substituindo:
Substituindo:
Passo 4
Agora vem o pulo do gato: a fração molar média do gás
na atmosfera é a “fração” desse
em relação ao somatório de todas as colunas
: