Um recipiente esférico de 2 litros de capacidade contém He sob pressão de 6 atm . A velocidade média das moléculas de He nessas condições é de
. Calcule a massa de He que deve ser adicionada, isotermicamente, ao recipiente para que o número de moléculas com velocidade superior à velocidade média seja de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um recipiente esférico de 2 litros que contém hélio (He) sob uma pressão de 6 atm. A velocidade média das moléculas de He nesse sistema é de
. A tarefa é descobrir quanto de massa de He precisamos adicionar, mantendo a temperatura constante (isotermicamente), para que o número de moléculas com velocidade superior à velocidade média seja de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais para encontrar a quantidade inicial de moléculas e depois aplicar a Distribuição de Velocidades de Maxwell para relacionar a velocidade média com o número de moléculas que têm velocidade maior que essa média.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número inicial de moléculas de hélio no recipiente usando a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é o número de mols, -
é a constante dos gases, -
é a temperatura.
Como não foi fornecida a temperatura, assumiremos que ela permanece constante durante o processo (isotermicamente).
Primeiro, vamos converter o volume para litros para metros cúbicos, já que
está em unidades que usam metros cúbicos:
A constante dos gases
é aproximadamente
. Vamos rearranjar a equação para encontrar
:
Mas como não temos
, precisaremos de outra abordagem. Vamos relacionar a velocidade média com a temperatura usando a energia cinética média das moléculas.
A velocidade média (
) está relacionada à temperatura pela equação:
Onde:
-
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura, -
é a massa de uma molécula de He.
Vamos reorganizar essa equação para encontrar
:
Agora, podemos usar essa temperatura na Lei dos Gases Ideais para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular a temperatura usando a velocidade média fornecida. Primeiro, precisamos saber a massa de uma molécula de He. A massa molar do He é aproximadamente
, então a massa de uma molécula é:
Agora, substituímos os valores na equação da temperatura:
Calculando isso:
Agora que temos a temperatura, podemos usar a Lei dos Gases Ideais para encontrar o número de mols
:
Agora, o número total de moléculas
é:
Passo 4
Agora, queremos que o número de moléculas com velocidade superior à média seja
. Pela distribuição de Maxwell, a fração de moléculas com velocidade maior que a média é aproximadamente 0,5 (50%). Portanto, para ter
moléculas com
, o número total de moléculas necessário
seria:
Agora, a quantidade adicional de moléculas necessária é:
Como
é muito menor comparado a
, podemos considerar que precisamos adicionar aproximadamente
moléculas.
Convertendo isso para mols:
Agora, para encontrar a massa de He a ser adicionada:
Resposta
Precisamos adicionar aproximadamente 4 gramas de hélio ao recipiente para que o número de moléculas com velocidade superior à velocidade média seja de
.