Um recipiente esférico de 2 litros de capacidade contém He sob pressão de 6 atm . A velocidade média das moléculas de He nessas condições é de 1,5 times 10^3 m s^-1. Calcule a massa de He que deve ser adicionada, isotermicamente, ao recipiente para que o número de moléculas com velocidade superior à velocidade média seja de 3 times 10^23.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um recipiente esférico de 2 litros que contém hélio (He) sob uma pressão de 6 atm. A velocidade média das moléculas de He nesse sistema é de 1,5 times 10^3 , m/s. A tarefa é descobrir quanto de massa de He precisamos adicionar, mantendo a temperatura constante (isotermicamente), para que o número de moléculas com velocidade superior à velocidade média seja de 3 times 10^23.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais para encontrar a quantidade inicial de moléculas e depois aplicar a Distribuição de Velocidades de Maxwell para relacionar a velocidade média com o número de moléculas que têm velocidade maior que essa média.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número inicial de moléculas de hélio no recipiente usando a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura.
Como não foi fornecida a temperatura, assumiremos que ela permanece constante durante o processo (isotermicamente).
Primeiro, vamos converter o volume para litros para metros cúbicos, já que R está em unidades que usam metros cúbicos:
V = 2 , litros = 0,002 , m^3
A constante dos gases R é aproximadamente 0,0821 , L cdot atm / (mol cdot K). Vamos rearranjar a equação para encontrar n:
n = PVRT
Mas como não temos T, precisaremos de outra abordagem. Vamos relacionar a velocidade média com a temperatura usando a energia cinética média das moléculas.
A velocidade média ( vmédiaé) está relacionada à temperatura pela equação:
vmédia = raiz8kTpi m é
Onde:
  • k é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura,
  • m é a massa de uma molécula de He.
Vamos reorganizar essa equação para encontrar T:
T = vmédia^2 pi m8k é
Agora, podemos usar essa temperatura na Lei dos Gases Ideais para encontrar n.

Passo 3

Vamos calcular a temperatura usando a velocidade média fornecida. Primeiro, precisamos saber a massa de uma molécula de He. A massa molar do He é aproximadamente 4 , g/mol, então a massa de uma molécula é:
m = 4 times 10^-3 , kg/mol6,022 times 10^23 , moléculas/mol approx 6,646 times 10^-27 , kg é
Agora, substituímos os valores na equação da temperatura:
T = (1,5 times 10^3)^2 times pi times 6,646 times 10^-278 times 1,38 times 10^-23
Calculando isso:
T approx 2,25 times 10^6 times 3,1416 times 6,646 times 10^-271,104 times 10^-22 approx 4,712 times 10^-201,104 times 10^-22 approx 427 , K
Agora que temos a temperatura, podemos usar a Lei dos Gases Ideais para encontrar o número de mols n:
n = PVRT = 6 times 0,0020,0821 times 427 approx 0,01235,07 approx 3,42 times 10^-4 , mols
Agora, o número total de moléculas N é:
N = n times NA = 3,42 times 10^-4 times 6,022 times 10^23 approx 2,06 times 10^20 , moléculas é

Passo 4

Agora, queremos que o número de moléculas com velocidade superior à média seja 3 times 10^23. Pela distribuição de Maxwell, a fração de moléculas com velocidade maior que a média é aproximadamente 0,5 (50%). Portanto, para ter 3 times 10^23 moléculas com v > vmédiaé, o número total de moléculas necessário Ntotal seria:
0,5 times Ntotal = 3 times 10^23 implies Ntotal = 6 times 10^23 , moléculas é
Agora, a quantidade adicional de moléculas necessária é:
Deé
Como 2,06 times 10^20 é muito menor comparado a 6 times 10^23, podemos considerar que precisamos adicionar aproximadamente 6 times 10^23 moléculas.
Convertendo isso para mols:
De
Agora, para encontrar a massa de He a ser adicionada:
m = De

Resposta

Precisamos adicionar aproximadamente 4 gramas de hélio ao recipiente para que o número de moléculas com velocidade superior à velocidade média seja de 3 times 10^23.

Exercícios relacionados