Uma geléia de massa
move-se com velocidade constante de módulo
em direção a um disco de massa
, raio
e momento de inércia
, em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro. O disco está inicialmente em repouso, mas é livre para girar em torno do eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo seu centro. Antes do impacto, a geléia tem uma trajetória retilínea deslocada de uma distância
do centro do disco, conforme a figura ao lado. A geléia atinge o disco e fica grudada na sua borda.
Após o impacto, qual é o momento de inércia total do sistema, em relação ao eixo de rotação do disco?
Após o impacto, qual é o momento de inércia total do sistema, em relação ao eixo de rotação do disco?
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos uma geléia de massa $ m = 73,2 , g $ que se move em direção a um disco com massa $ M = 2,74 , kg $, raio $ R = 1,00 , m $ e momento de inércia $ I = \frac{MR^2}{2} $. A geléia está deslocada a uma distância $ h = 64,3 , cm $ do centro do disco e, após atingir o disco, fica grudada na sua borda. Queremos descobrir qual será o momento de inércia total do sistema (disco + geléia) após o impacto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia na física.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. A massa da geléia está em gramas, então vamos convertê-la para quilogramas:
E a distância $ h $ está em centímetros, vamos converter para metros:
Passo 3
Sabemos que o momento de inércia ($ I $) de um objeto depende de como sua massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para o disco, o momento de inércia já foi dado pela fórmula:
Vamos calcular esse valor substituindo $ M = 2,74 , kg $ e $ R = 1,00 , m $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento de inércia da geléia após o impacto. Como a geléia fica grudada na borda do disco, sua distância ao eixo de rotação é igual ao raio do disco, $ R = 1,00 , m $. O momento de inércia de um ponto de massa é dado por:
Substituindo $ m = 0,0732 , kg $ e $ R = 1,00 , m $:
Passo 5
Finalmente, para encontrar o momento de inércia total do sistema após o impacto, basta somar o momento de inércia do disco com o momento de inércia da geléia:
Resposta
O momento de inércia total do sistema após o impacto é $ I_{total} = 1,4432 , kg \cdot m^2 $.