Uma geléia de massa m=73,2 g move-se com velocidade constante de módulo v0=12,0 m / s em direção a um disco de massa M=2,74 kg, raio R= 1,00 m e momento de inércia I=M R^2 / 2, em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro. O disco está inicialmente em repouso, mas é livre para girar em torno do eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo seu centro. Antes do impacto, a geléia tem uma trajetória retilínea deslocada de uma distância h=64,3 cm do centro do disco, conforme a figura ao lado. A geléia atinge o disco e fica grudada na sua borda.
Após o impacto, qual é o momento de inércia total do sistema, em relação ao eixo de rotação do disco?

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos uma geléia de massa $ m = 73,2 , g $ que se move em direção a um disco com massa $ M = 2,74 , kg $, raio $ R = 1,00 , m $ e momento de inércia $ I = \frac{MR^2}{2} $. A geléia está deslocada a uma distância $ h = 64,3 , cm $ do centro do disco e, após atingir o disco, fica grudada na sua borda. Queremos descobrir qual será o momento de inércia total do sistema (disco + geléia) após o impacto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia na física.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. A massa da geléia está em gramas, então vamos convertê-la para quilogramas:
m = 73,2 , g = 0,0732 , kg
E a distância $ h $ está em centímetros, vamos converter para metros:
h

Passo 3

Sabemos que o momento de inércia ($ I $) de um objeto depende de como sua massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para o disco, o momento de inércia já foi dado pela fórmula:
I
Vamos calcular esse valor substituindo $ M = 2,74 , kg $ e $ R = 1,00 , m $:
Idisco = MR^22

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de inércia da geléia após o impacto. Como a geléia fica grudada na borda do disco, sua distância ao eixo de rotação é igual ao raio do disco, $ R = 1,00 , m $. O momento de inércia de um ponto de massa é dado por:
R = 1,00 , m é
Substituindo $ m = 0,0732 , kg $ e $ R = 1,00 , m $:
I>=léia = mR^2 é

Passo 5

Finalmente, para encontrar o momento de inércia total do sistema após o impacto, basta somar o momento de inércia do disco com o momento de inércia da geléia:
Itotal = Idisco + I>=léia = 1,37 + 0,0732 = 1,4432 , kg cdot m^2 é

Resposta

O momento de inércia total do sistema após o impacto é $ I_{total} = 1,4432 , kg \cdot m^2 $.

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