Obtenha uma expressão para a distância entre planos em um sistema cristalino cúbico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para obter uma expressão para a distância entre planos em um sistema cristalino cúbico. Vamos usar conceitos de cristalografia, especificamente sobre como medir a distância entre planos cristalinos usando índices de Miller e o parâmetro de rede do cristal.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são os planos cristalinos e os índices de Miller. Em um cristal, os átomos estão organizados em padrões repetitivos formando planos. Esses planos são identificados por três números inteiros chamados índices de Miller, representados por (h, k, l).

Passo 3

No sistema cristalino cúbico, todos os lados da célula unitária são iguais, e os ângulos entre eles são de 90 graus. O parâmetro de rede, que vamos chamar de $ a $, é o comprimento de aresta dessa célula cúbica.

Passo 4

A fórmula para calcular a distância $ d_{hkl} $ entre planos cristalinos no sistema cúbico é dada por:
dhkl
Essa fórmula relaciona o parâmetro de rede $ a $ com os índices de Miller (h, k, l).

Passo 5

Vamos derivar essa expressão. Considere um plano cristalino com índices de Miller (h, k, l). A distância entre esse plano e o próximo é determinada pela geometria do cristal cúbico. Usando trigonometria no sistema cúbico, chegamos à expressão acima para $ d_{hkl} $.

Resposta

A distância entre planos em um sistema cristalino cúbico é dada por:
dhkl = araizh^2 + k^2 + l^2

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