Uma geléia de massa
move-se com velocidade constante de módulo
em direção a um disco de massa
, raio
e momento de inércia
, em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro. O disco está inicialmente em repouso, mas é livre para girar em torno do eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo seu centro. Antes do impacto, a geléia tem uma trajetória retilínea deslocada de uma distância
do centro do disco, conforme a figura ao lado. A geléia atinge o disco e fica grudada na sua borda.
Após o impacto, qual é a velocidade angular do sistema disco-geléia?
Após o impacto, qual é a velocidade angular do sistema disco-geléia?
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma geléia de massa $ m = 73,2 \mathrm{~g} $ que se move com velocidade constante $ v_0 = 12,0 \mathrm{~m/s} $ em direção a um disco de massa $ M = 2,74 \mathrm{~kg} $, raio $ R = 1,00 \mathrm{~m} $ e momento de inércia $ I = \frac{M R^{2}}{2} $. O disco está inicialmente parado, mas pode girar livremente em torno de seu eixo central. A trajetória da geléia está deslocada a uma distância $ h = 64,3 \mathrm{~cm} $ do centro do disco. Quando a geléia colide com o disco, ela fica grudada na borda. Queremos descobrir a velocidade angular do sistema disco-geléia após o impacto.
Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação do momento angular, que é uma ferramenta importante na física quando não há torque externo atuando no sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI). Vamos transformar a massa da geléia de gramas para quilogramas e a distância de centímetros para metros:
Passo 3
Em seguida, identificamos o momento angular inicial do sistema antes do impacto. Como o disco está inicialmente em repouso, o único momento angular vem da geléia se movendo em linha reta. O momento angular ($ L $) de um objeto em movimento linear em relação a um ponto é dado por:
onde $ m $ é a massa, $ v $ a velocidade e $ r $ a distância perpendicular até o ponto de rotação.
Portanto, o momento angular inicial é:
Passo 4
Após o impacto, a geléia fica grudada na borda do disco, formando um sistema combinado disco-geléia com uma certa velocidade angular $ \omega $ que queremos encontrar.
O momento angular final do sistema é a soma dos momentos angulares do disco e da geléia. Para o disco, que tem momento de inércia $ I = \frac{M R^{2}}{2} $, o momento angular é:
Para a geléia, agora presa na borda do disco, o momento de inércia é:
E o momento angular da geléia é:
Passo 5
Somando os momentos angulares do disco e da geléia, temos o momento angular final:
Simplificando:
Passo 6
Pela conservação do momento angular, o momento inicial é igual ao momento final:
Substituindo as expressões:
Passo 7
Agora, isolamos $ \omega $ para encontrar a velocidade angular do sistema após o impacto:
Passo 8
Substituímos os valores numéricos:
Dados:
Substituindo na fórmula:
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Resposta
A velocidade angular do sistema disco-geléia após o impacto é aproximadamente $ \omega \approx 0,564 \mathrm{~rad/s} $.