Uma geléia de massa m=73,2 g move-se com velocidade constante de módulo v0=12,0 m / s em direção a um disco de massa M=2,74 kg, raio R= 1,00 m e momento de inércia I=M R^2 / 2, em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro. O disco está inicialmente em repouso, mas é livre para girar em torno do eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo seu centro. Antes do impacto, a geléia tem uma trajetória retilínea deslocada de uma distância h=64,3 cm do centro do disco, conforme a figura ao lado. A geléia atinge o disco e fica grudada na sua borda.
Após o impacto, qual é a velocidade angular do sistema disco-geléia?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma geléia de massa $ m = 73,2 \mathrm{~g} $ que se move com velocidade constante $ v_0 = 12,0 \mathrm{~m/s} $ em direção a um disco de massa $ M = 2,74 \mathrm{~kg} $, raio $ R = 1,00 \mathrm{~m} $ e momento de inércia $ I = \frac{M R^{2}}{2} $. O disco está inicialmente parado, mas pode girar livremente em torno de seu eixo central. A trajetória da geléia está deslocada a uma distância $ h = 64,3 \mathrm{~cm} $ do centro do disco. Quando a geléia colide com o disco, ela fica grudada na borda. Queremos descobrir a velocidade angular do sistema disco-geléia após o impacto.
Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação do momento angular, que é uma ferramenta importante na física quando não há torque externo atuando no sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI). Vamos transformar a massa da geléia de gramas para quilogramas e a distância de centímetros para metros:
m = 73,2 g = 0,0732 kg
h = 64,3 cm = 0,643 m

Passo 3

Em seguida, identificamos o momento angular inicial do sistema antes do impacto. Como o disco está inicialmente em repouso, o único momento angular vem da geléia se movendo em linha reta. O momento angular ($ L $) de um objeto em movimento linear em relação a um ponto é dado por:
L
onde $ m $ é a massa, $ v $ a velocidade e $ r $ a distância perpendicular até o ponto de rotação.
Portanto, o momento angular inicial é:
L = m cdot v cdot r

Passo 4

Após o impacto, a geléia fica grudada na borda do disco, formando um sistema combinado disco-geléia com uma certa velocidade angular $ \omega $ que queremos encontrar.
O momento angular final do sistema é a soma dos momentos angulares do disco e da geléia. Para o disco, que tem momento de inércia $ I = \frac{M R^{2}}{2} $, o momento angular é:
omega
Para a geléia, agora presa na borda do disco, o momento de inércia é:
I = M R^22 é
E o momento angular da geléia é:
Ldisco = I cdot omega = M R^22 cdot omega éé

Passo 5

Somando os momentos angulares do disco e da geléia, temos o momento angular final:
Lfinal = ( M R^22 + m R^2 ) cdot omega
Simplificando:
Lfinal = ( M2 + m ) R^2 cdot omega

Passo 6

Pela conservação do momento angular, o momento inicial é igual ao momento final:
Linicial = Lfinal
Substituindo as expressões:
m cdot v0 cdot h = ( M2 + m ) R^2 cdot omega

Passo 7

Agora, isolamos $ \omega $ para encontrar a velocidade angular do sistema após o impacto:
omega

Passo 8

Substituímos os valores numéricos:
Dados:
m = 0,0732 kg, v0 = 12,0 m/s, h = 0,643 m, M = 2,74 kg, R = 1,00 m
Substituindo na fórmula:
omega = 0,0732 cdot 12,0 cdot 0,643( 2,742 + 0,0732 ) cdot 1,00^2
Calculando o denominador:
2,742 + 0,0732 = 1,37 + 0,0732 = 1,4432 kg cdot m^2
Calculando o numerador:
0,0732 cdot 12,0 cdot 0,643 approx 0,564 kg cdot m^2 / s

Resposta

A velocidade angular do sistema disco-geléia após o impacto é aproximadamente $ \omega \approx 0,564 \mathrm{~rad/s} $.

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