Generalize os três exercícios anteriores: seja e^{x \mathbf{i}}=\cos (x)+\sin (x) \mathbf{i}. Dado n \in \mathbb{N}, n \geq 2,
(a) sendo z_{n}=e^{\frac{2 \pi}{n} \mathbf{i}}, mostre que z_{n} tem ordem n;
(b) sendo M_{n}=\left(\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi}{n}\right) \\\ \sin \left(\frac{2 \pi}{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right)\end{array}\right), mostre que M_{n} tem ordem n ;
(c) mostre que há um isomorfismo entre os (sub)grupos \left(\left\langle z_{n}\right\rangle,.\right) e \left(\left\langle M_{n}\right\rangle,.\right).
Passo 1
O enunciado nos dá explicitamente duas construções e pede três coisas. Vou listar o que foi dado e o que se pede, bem clarinho:
Dados:
A definição complexa: e^{x\mathbf{i}}=\cos(x)+\sin(x)\mathbf{i}.
Um inteiro n\in\mathbb{N}, n\ge 2.
Define-se z_{n}=e^{\frac{2\pi}{n}\mathbf{i}}.
Define-se a matriz de rotação M_{n}=\begin{pmatrix}\cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) & -\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\\[6pt] \sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) & \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\end{pmatrix}.
Pedidos:
(a) Mostrar que z_{n} tem ordem n no grupo multiplicativo dos complexos.
(b) Mostrar que M_{n} tem ordem n no grupo multiplicativo das matrizes 2\times2.
(c) Mostrar que existe um isomorfismo entre os subgrupos \big(\langle z_{n}\rangle,\cdot\big) e \big(\langle M_{n}\rangle,\cdot\big).
Observação sobre notação: a ordem de um elemento g num grupo é o menor inteiro positivo m tal que g^{m}=e (onde e é a identidade do grupo). Se nenhum inteiro positivo fizer isso, diz-se ordem infinita.]
Passo 2
Lembretes e ferramentas que vamos usar (com explicações didáticas):
Fórmula de Euler e propriedades básicas:
Para todo \theta\in\mathbb{R} vale e^{\theta\mathbf{i}}=\cos(\theta)+\sin(\theta)\mathbf{i}.Isso nos dá imediatamente que e^{0\mathbf{i}}=1 (porque \cos0=1,\\ \sin0=0).
Produto de exponenciais complexas corresponde à soma de ângulos:e^{\theta\mathbf{i}}e^{\varphi\mathbf{i}}=e^{(\theta+\varphi)\mathbf{i}}.Explicação: multiplicando \cos\theta+\sin\theta\mathbf{i} por \cos\varphi+\sin\varphi\mathbf{i} e usando as fórmulas de adição para cosseno e seno obtém-se \cos(\theta+\varphi)+\sin(\theta+\varphi)\mathbf{i}, que é e^{(\theta+\varphi)\mathbf{i}}.
Consequência: para inteiro k\ge0,\big(e^{\theta\mathbf{i}}\big)^{k}=e^{k\theta\mathbf{i}}.
Matrizes de rotação:
Para \theta\in\mathbb{R} definimos a matriz de rotação R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Produto de matrizes de rotação soma os ângulos:R(\theta)R(\varphi)=R(\theta+\varphi).Explicação: multiplicando as duas matrizes e usando as identidades \cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi e \sin(\theta+\varphi)=\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi obtém-se exatamente R(\theta+\varphi).
Assim, \big(R(\theta)\big)^{k}=R(k\theta) para inteiro k\ge0.
Essas duas coleções de propriedades são o principal “machete” que vamos usar.]
Isso implica que \cos\!\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)=1 e \sin\!\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)=0. As únicas soluções reias para essas duas igualdades simultâneas são \dfrac{2\pi k}{n}=2\pi m com m\in\mathbb{Z}, ou seja \dfrac{k}{n}=m. Portanto n divide k. Se 1\le k<n isso é impossível. Logo não existe k com 1\le k<n tal que z_n^k=1.
Portanto o menor inteiro positivo com z_n^{k}=1 é k=n. Conclusão: a ordem de z_{n} é n.
(Dica prática para prova: mostrar z_n^n=1 e depois usar a propriedade do argumento para concluir minimalidade.)
Passo 4
Relembrando e demonstrando de forma direta a propriedade de soma de ângulos para matrizes (faça este cálculo na prova, é curto e convincentemente mecânico):
Seja R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}. Multiplicando R(\theta) por R(\varphi) obtemosR(\theta)R(\varphi)= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi & -\big(\cos\theta\sin\varphi+\sin\theta\cos\varphi\big)\\[6pt] \sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi & \cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi \end{pmatrix}.Usando as fórmulas trigonométricas de adição \cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi e \sin(\theta+\varphi)=\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi reconhecemos que isso é exatamenteR(\theta+\varphi).
Assim, por indução ou por repetição, \big(R(\theta)\big)^{k}=R(k\theta) para todo inteiro k\ge0.
No nosso caso M_n=R\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right). Essas propriedades vão permitir calcular potências de M_n facilmente.]
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior com \theta=\dfrac{2\pi}{n}:
que é a identidade multiplicativa no grupo das matrizes 2\times2. Logo a ordem de M_n divide n.
Para ver que nenhum 1\le k<n dá M_n^k=I_2, suponha M_n^k=I_2. Isso implica R\!\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)=R(0). As matrizes de rotação R(\alpha) e R(\beta) são iguais se, e somente se, \alpha\equiv\beta\pmod{2\pi}. Logo \dfrac{2\pi k}{n}\equiv 0\pmod{2\pi}, ou seja n divide k. Para 1\le k<n isso não acontece. Portanto não existe k menor que n com M_n^k=I_2.
Conclusão: a ordem de M_{n} é n.]
Passo 6
Construção natural e verificação:
Observação útil: como z_n tem ordem n, todo elemento de \langle z_n\rangle pode ser escrito de maneira única como z_n^{k} com k\in\{0,1,\dots,n-1\}. De modo análogo, todo elemento de \langle M_n\rangle é M_n^{k} com k\in\{0,1,\dots,n-1\}.
Defina a aplicação \varphi:\langle z_{n}\rangle\to\langle M_{n}\rangle por
Assim \varphi preserva a operação (multiplicação).
Injetividade (kernel trivial):
Se \varphi(z_n^{k})=I_{2} então M_n^{k}=I_2. Pelo passo 5 isso implica que n divide k, então z_n^{k}=1. Portanto o único elemento cujo imagem é a identidade é a identidade; o núcleo de \varphi é trivial, logo \varphi é injetora.
Sobresjetividade:
A imagem de \varphi contém M_n=\varphi(z_n) e, por ser homomorfismo, \varphi(\langle z_n\rangle)=\langle M_n\rangle. Ou de forma direta: dado qualquer M_n^k\in\langle M_n\rangle temos M_n^k=\varphi(z_n^k), logo \varphi é sobrejetora.
Conclusão: \varphi é bijetora e homomorfismo, portanto é um isomorfismo de grupos entre \langle z_n\rangle e \langle M_n\rangle.
Observação fina e intuitiva: esse isomorfismo é a expressão precisa de que multiplicar por o número complexo e^{2\pi\mathbf{i}/n} corresponde geometricamente a rotacionar o plano em 2\pi/n; a matriz M_n é a representação matricial dessa rotação. Em termos algébricos, ambos os subgrupos são cíclicos de ordem n e, portanto, isomorfos ao grupo cíclico \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
Resposta
(a) A ordem de z_{n} é n.
(b) A ordem de M_{n} é n.
(c) O isomorfismo é dado por \varphi:\langle z_{n}\rangle\to\langle M_{n}\rangle, \varphi(z_{n}^{k})=M_{n}^{k}, que é um isomorfismo de grupos.