Generalize os três exercícios anteriores: seja e^{x \mathbf{i}}=\cos (x)+\sin (x) \mathbf{i}. Dado n \in \mathbb{N}, n \geq 2,
(a) sendo z_{n}=e^{\frac{2 \pi}{n} \mathbf{i}}, mostre que z_{n} tem ordem n;
(b) sendo M_{n}=\left(\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi}{n}\right) \\\ \sin \left(\frac{2 \pi}{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right)\end{array}\right), mostre que M_{n} tem ordem n ;
(c) mostre que há um isomorfismo entre os (sub)grupos \left(\left\langle z_{n}\right\rangle,.\right) e \left(\left\langle M_{n}\right\rangle,.\right).

Passo 1

O enunciado nos dá explicitamente duas construções e pede três coisas. Vou listar o que foi dado e o que se pede, bem clarinho:
  • Dados:
    • A definição complexa: e^{x\mathbf{i}}=\cos(x)+\sin(x)\mathbf{i}.
    • Um inteiro n\in\mathbb{N}, n\ge 2.
    • Define-se z_{n}=e^{\frac{2\pi}{n}\mathbf{i}}.
    • Define-se a matriz de rotação M_{n}=\begin{pmatrix}\cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) & -\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\\[6pt] \sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) & \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\end{pmatrix}.
  • Pedidos:
    (a) Mostrar que z_{n} tem ordem n no grupo multiplicativo dos complexos.
    (b) Mostrar que M_{n} tem ordem n no grupo multiplicativo das matrizes 2\times2.
    (c) Mostrar que existe um isomorfismo entre os subgrupos \big(\langle z_{n}\rangle,\cdot\big) e \big(\langle M_{n}\rangle,\cdot\big).
Observação sobre notação: a ordem de um elemento g num grupo é o menor inteiro positivo m tal que g^{m}=e (onde e é a identidade do grupo). Se nenhum inteiro positivo fizer isso, diz-se ordem infinita.]

Passo 2

Lembretes e ferramentas que vamos usar (com explicações didáticas):
  • Fórmula de Euler e propriedades básicas:
    • Para todo \theta\in\mathbb{R} vale e^{\theta\mathbf{i}}=\cos(\theta)+\sin(\theta)\mathbf{i}.Isso nos dá imediatamente que e^{0\mathbf{i}}=1 (porque \cos0=1,\\ \sin0=0).
    • Produto de exponenciais complexas corresponde à soma de ângulos: e^{\theta\mathbf{i}}e^{\varphi\mathbf{i}}=e^{(\theta+\varphi)\mathbf{i}}.Explicação: multiplicando \cos\theta+\sin\theta\mathbf{i} por \cos\varphi+\sin\varphi\mathbf{i} e usando as fórmulas de adição para cosseno e seno obtém-se \cos(\theta+\varphi)+\sin(\theta+\varphi)\mathbf{i}, que é e^{(\theta+\varphi)\mathbf{i}}.
    • Consequência: para inteiro k\ge0, \big(e^{\theta\mathbf{i}}\big)^{k}=e^{k\theta\mathbf{i}}.
  • Matrizes de rotação:
    • Para \theta\in\mathbb{R} definimos a matriz de rotação R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
    • Produto de matrizes de rotação soma os ângulos: R(\theta)R(\varphi)=R(\theta+\varphi).Explicação: multiplicando as duas matrizes e usando as identidades \cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi e \sin(\theta+\varphi)=\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi obtém-se exatamente R(\theta+\varphi).
    • Assim, \big(R(\theta)\big)^{k}=R(k\theta) para inteiro k\ge0.
Essas duas coleções de propriedades são o principal “machete” que vamos usar.]

Passo 3

Vamos calcular potências de z_{n}.
  • Pelo item anterior, para k\in\mathbb{N} vale
    z_{n}^{k}=\left(e^{\frac{2\pi}{n}\mathbf{i}}\right)^{k}=e^{\frac{2\pi k}{n}\mathbf{i}}=\cos\!\left(\frac{2\pi k}{n}\right)+\sin\!\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\mathbf{i}.
  • Em particular, para k=n:
    z_{n}^{n}=e^{2\pi\mathbf{i}}=\cos(2\pi)+\sin(2\pi)\mathbf{i}=1+0\mathbf{i}=1,
    onde 1 é a identidade multiplicativa nos complexos. Logo a ordem de z_{n} é um divisor de n.
  • Agora precisamos mostrar que nenhum inteiro positivo menor que n faz z_n^k=1. Se para algum k tivéssemos z_{n}^{k}=1, então
    e^{\frac{2\pi k}{n}\mathbf{i}}=1=\cos(0)+\sin(0)\mathbf{i}.
    Isso implica que \cos\!\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)=1 e \sin\!\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)=0. As únicas soluções reias para essas duas igualdades simultâneas são \dfrac{2\pi k}{n}=2\pi m com m\in\mathbb{Z}, ou seja \dfrac{k}{n}=m. Portanto n divide k. Se 1\le k<n isso é impossível. Logo não existe k com 1\le k<n tal que z_n^k=1.
Portanto o menor inteiro positivo com z_n^{k}=1 é k=n. Conclusão: a ordem de z_{n} é n.
(Dica prática para prova: mostrar z_n^n=1 e depois usar a propriedade do argumento para concluir minimalidade.)

Passo 4

Relembrando e demonstrando de forma direta a propriedade de soma de ângulos para matrizes (faça este cálculo na prova, é curto e convincentemente mecânico):
  • Seja R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}. Multiplicando R(\theta) por R(\varphi) obtemos R(\theta)R(\varphi)= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi & -\big(\cos\theta\sin\varphi+\sin\theta\cos\varphi\big)\\[6pt] \sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi & \cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi \end{pmatrix}.Usando as fórmulas trigonométricas de adição \cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi e \sin(\theta+\varphi)=\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi reconhecemos que isso é exatamente R(\theta+\varphi).
  • Assim, por indução ou por repetição, \big(R(\theta)\big)^{k}=R(k\theta) para todo inteiro k\ge0.
No nosso caso M_n=R\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right). Essas propriedades vão permitir calcular potências de M_n facilmente.]

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior com \theta=\dfrac{2\pi}{n}:
  • Para k\in\mathbb{N} temos
    M_{n}^{k}=R\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)^{k}=R\!\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right) =\begin{pmatrix}\cos\!\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right) & -\sin\!\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)\\[6pt] \sin\!\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right) & \cos\!\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)\end{pmatrix}.
  • Tomando k=n obtemos
    M_{n}^{n}=R(2\pi)=\begin{pmatrix}\cos(2\pi) & -\sin(2\pi)\\[4pt]\sin(2\pi) & \cos(2\pi)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I_{2},
    que é a identidade multiplicativa no grupo das matrizes 2\times2. Logo a ordem de M_n divide n.
  • Para ver que nenhum 1\le k<n M_n^k=I_2, suponha M_n^k=I_2. Isso implica R\!\left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)=R(0). As matrizes de rotação R(\alpha) e R(\beta) são iguais se, e somente se, \alpha\equiv\beta\pmod{2\pi}. Logo \dfrac{2\pi k}{n}\equiv 0\pmod{2\pi}, ou seja n divide k. Para 1\le k<n isso não acontece. Portanto não existe k menor que n com M_n^k=I_2.
Conclusão: a ordem de M_{n} é n.]

Passo 6

Construção natural e verificação:
  • Observação útil: como z_n tem ordem n, todo elemento de \langle z_n\rangle pode ser escrito de maneira única como z_n^{k} com k\in\{0,1,\dots,n-1\}. De modo análogo, todo elemento de \langle M_n\rangle é M_n^{k} com k\in\{0,1,\dots,n-1\}.
  • Defina a aplicação \varphi:\langle z_{n}\rangle\to\langle M_{n}\rangle por
    \varphi\big(z_{n}^{k}\big)=M_{n}^{k},\qquad k\in\{0,1,\dots,n-1\}.
    Esta definição é bem colocada porque cada elemento de \langle z_n\rangle tem forma z_n^k e a imagem está em \langle M_n\rangle.
  • Verificar que \varphi é homomorfismo:
    Para quaisquer inteiros a,b reduzidos mod n,
    \varphi\big(z_n^{a}z_n^{b}\big)=\varphi\big(z_n^{a+b}\big)=M_n^{a+b}=M_n^{a}M_n^{b}=\varphi\big(z_n^{a}\big)\varphi\big(z_n^{b}\big).
    Assim \varphi preserva a operação (multiplicação).
  • Injetividade (kernel trivial):
    Se \varphi(z_n^{k})=I_{2} então M_n^{k}=I_2. Pelo passo 5 isso implica que n divide k, então z_n^{k}=1. Portanto o único elemento cujo imagem é a identidade é a identidade; o núcleo de \varphi é trivial, logo \varphi é injetora.
  • Sobresjetividade:
    A imagem de \varphi contém M_n=\varphi(z_n) e, por ser homomorfismo, \varphi(\langle z_n\rangle)=\langle M_n\rangle. Ou de forma direta: dado qualquer M_n^k\in\langle M_n\rangle temos M_n^k=\varphi(z_n^k), logo \varphi é sobrejetora.
  • Conclusão: \varphi é bijetora e homomorfismo, portanto é um isomorfismo de grupos entre \langle z_n\rangle e \langle M_n\rangle.
  • Observação fina e intuitiva: esse isomorfismo é a expressão precisa de que multiplicar por o número complexo e^{2\pi\mathbf{i}/n} corresponde geometricamente a rotacionar o plano em 2\pi/n; a matriz M_n é a representação matricial dessa rotação. Em termos algébricos, ambos os subgrupos são cíclicos de ordem n e, portanto, isomorfos ao grupo cíclico \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

Resposta

(a) A ordem de z_{n} é n.
(b) A ordem de M_{n} é n.
(c) O isomorfismo é dado por \varphi:\langle z_{n}\rangle\to\langle M_{n}\rangle, \varphi(z_{n}^{k})=M_{n}^{k}, que é um isomorfismo de grupos.

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