Let \left|a^{\prime}\right\rangle and \left|a^{\prime \prime}\right\rangle be eigenstates of a Hermitian operator A with eigenvalues a^{\prime} and a^{\prime \prime}, respectively ( a^{\prime} \neq a^{\prime \prime} ). The Hamiltonian operator is given by
H=\left|a^{\prime}\right\rangle \delta\left\langle a^{\prime \prime}\right|+\left|a^{\prime \prime}\right\rangle \delta\left\langle a^{\prime}\right|,
where \delta is just a real number.
a. Clearly, \left|a^{\prime}\right\rangle and \left|a^{\prime \prime}\right\rangle are not eigenstates of the Hamiltonian. Write down the eigenstates of the Hamiltonian. What are their energy eigenvalues?
b. Suppose the system is known to be in state \left|a^{\prime}\right\rangle at t=0. Write down the state vector in the Schrödinger picture for t>0.
c. What is the probability for finding the system in \left|a^{\prime \prime}\right\rangle for t>0 if the system is known to be in state \left|a^{\prime}\right\rangle at t=0 ?
d. Can you think of a physical situation corresponding to this problem?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \left|a'\right\rangle e \left|a''\right\rangle são autovetores ortonormais de um operador Hermitiano A, com autovalores distintos a' e a''.
  • O Hamiltoniano é
H=\left|a'\right\rangle \delta\left\langle a''\right|+\left|a''\right\rangle \delta\left\langle a'\right|,
onde \delta é um número real.
As perguntas são:
(a) Encontrar os autovetores e autovalores (energias) de H.
(b) Se o sistema está em \left|a'\right\rangle em t=0, escrever o vetor de estado no quadro de Schrödinger para t>0.
(c) Calcular a probabilidade de encontrar o sistema em \left|a''\right\rangle para t>0, dado o estado inicial \left|a'\right\rangle.
(d) Sugerir uma situação física correspondente a esse modelo.

Passo 2

Escolher a base \{\left|a'\right\rangle,\left|a''\right\rangle\} (ortonormal). Vamos calcular as componentes da matriz de H nessa base, usando \langle a_i|a_j\rangle=\delta_{ij}.
Calculemos:
\langle a'|H|a'\rangle=\langle a'|\left(|a'\rangle\delta\langle a''|+|a''\rangle\delta\langle a'|\right)|a'\rangle =\delta\langle a'|a'\rangle\langle a''|a'\rangle+\delta\langle a'|a''\rangle\langle a'|a'\rangle=0,
pois \langle a''|a'\rangle=0.
De modo semelhante,
\langle a''|H|a''\rangle=0,
e as componentes cruzadas são
\langle a'|H|a''\rangle=\delta,\qquad \langle a''|H|a'\rangle=\delta.
Portanto, na base \{\left|a'\right\rangle,\left|a''\right\rangle\} a matriz de H é
H\longrightarrow \begin{pmatrix} 0 & \delta\\[4pt] \delta & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Resolver o problema próprio da matriz 2\times2
\begin{pmatrix}0 & \delta\\\ \delta & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_1\\\ c_2\end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix}c_1\\\ c_2\end{pmatrix}.
A equação característica é
\det\begin{pmatrix}-\lambda & \delta\\\ \delta & -\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2-\delta^2=0,
logo os autovalores são \lambda=\pm\delta.
Para \lambda=+\delta a equação dá -\delta c_1+\delta c_2=0\Rightarrow c_1=c_2. Um vetor próprio normalizado é
\left|\psi_+\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\left|a'\right\rangle+\left|a''\right\rangle\bigr),
com energia E_+=+\delta.
Para \lambda=-\delta obtemos -(-\delta)??? (fazer direto): a equação dá \delta c_1+\delta c_2=0\Rightarrow c_1=-c_2. Um vetor próprio normalizado é
\left|\psi_-\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\left|a'\right\rangle-\left|a''\right\rangle\bigr),
com energia E_-=-\delta.
(Isto resolve a parte (a): autovetores e autovalores.)

Passo 4

Verificação rápida de ortonormalidade e completude (útil para decompor estados):
\langle\psi_+|\psi_-\rangle=0,\qquad \langle\psi_\pm|\psi_\pm\rangle=1,
e a base \{\left|\psi_+\right\rangle,\left|\psi_-\right\rangle\} é completa no subespaço gerado por \{\left|a'\right\rangle,\left|a''\right\rangle\}.
Expressão inversa:
\left|a'\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\left|\psi_+\right\rangle+\left|\psi_-\right\rangle\bigr),\qquad \left|a''\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\left|\psi_+\right\rangle-\left|\psi_-\right\rangle\bigr).

Passo 5

Parte (b): evolução temporal no quadro de Schrödinger.
Fórmula geral: se \left|\psi_n\right\rangle são autofunções de H com energias E_n, então
\left|\psi(t)\right\rangle=\sum_n e^{-iE_n t/\hbar} c_n \left|\psi_n\right\rangle,
onde c_n=\langle\psi_n|\psi(0)\rangle.
Aqui \left|\psi(0)\right\rangle=\left|a'\right\rangle. Projetando nas energias:
c_+=\langle\psi_+|a'\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad c_-=\langle\psi_-|a'\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo
\left|\psi(t)\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-iE_+t/\hbar}\left|\psi_+\right\rangle+e^{-iE_-t/\hbar}\left|\psi_-\right\rangle\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-i\delta t/\hbar}\left|\psi_+\right\rangle+e^{+i\delta t/\hbar}\left|\psi_-\right\rangle\right).
Substituindo \left|\psi_\pm\right\rangle em termos de \left|a'\right\rangle,\left|a''\right\rangle:
\left|\psi(t)\right\rangle=\frac{1}{2}\Big[(e^{-i\delta t/\hbar}+e^{+i\delta t/\hbar})\left|a'\right\rangle +(e^{-i\delta t/\hbar}-e^{+i\delta t/\hbar})\left|a''\right\rangle\Big].
Usando e^{-i\theta}+e^{i\theta}=2\cos\theta e e^{-i\theta}-e^{i\theta}=-2i\sin\theta com \theta=\delta t/\hbar, obtemos
\left|\psi(t)\right\rangle=\cos\!\bigl(\tfrac{\delta t}{\hbar}\bigr)\left|a'\right\rangle - i\sin\!\bigl(\tfrac{\delta t}{\hbar}\bigr)\left|a''\right\rangle.
Isto é a evolução temporal pedida (parte (b)). Observação: amplitude para \left|a'\right\rangle e \left|a''\right\rangle varia com o tempo, mantendo normalização.

Passo 6

Parte (c): probabilidade de encontrar \left|a''\right\rangle em tempo t.
A amplitude é
\langle a''|\psi(t)\rangle=-i\sin\!\bigl(\tfrac{\delta t}{\hbar}\bigr),
então a probabilidade é
P_{a''}(t)=\left|\langle a''|\psi(t)\rangle\right|^2=\sin^2\!\bigl(\tfrac{\delta t}{\hbar}\bigr).
Comentário prático: isto significa oscilações coerentes (Rabi-like) entre os dois estados com frequência angular \omega=\delta/\hbar. A transferência completa para \left|a''\right\rangle ocorre quando \delta t/\hbar=\pi/2 + k\pi; o período da oscilação de probabilidade é T=\pi\hbar/\delta.

Passo 7

Parte (d): interpretação física.
Este modelo descreve um sistema de dois níveis acoplados por uma interação que “troca” as duas bases \left|a'\right\rangle e \left|a''\right\rangle. Exemplos físicos:
  • Uma partícula num poço duplo simétrico: \left|a'\right\rangle,\left|a''\right\rangle são estados localizados em cada poço e \delta é o elemento de tunelamento; então aparecem estados simétrico/anti-simétrico (ligante/antiligante) com energias \pm\delta e ocorre tunelamento periódico entre poços.
  • O inversor do NH3 (amônia): duas configurações relacionadas por tunelamento entre duas posições do átomo de N.
  • Um spin-1/2 num campo magnético transverse: escolhendo base \{|+\rangle_z,|-\rangle_z\} e com Hamiltoniano proporcional a \sigma_x obtém-se forma idêntica; o spin pré-cede/oscila entre estados.
  • Dois níveis atômicos acoplados (modelo de Rabi) no caso resonante sem termo diagonal — transições coerentes com frequência proporcional a \delta.
Esses exemplos mostram que o problema é o modelo mínimo de acoplamento entre duas configurações (ou sítios/níveis) e produz as famosas oscilações de probabilidade entre os níveis.

Resposta

(a) \displaystyle \left|\psi_\pm\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\left|a'\right\rangle\pm\left|a''\right\rangle\bigr),\qquad E_\pm=\pm\delta.
(b) \displaystyle \left|\psi(t)\right\rangle=\cos\!\bigl(\tfrac{\delta t}{\hbar}\bigr)\left|a'\right\rangle - i\sin\!\bigl(\tfrac{\delta t}{\hbar}\bigr)\left|a''\right\rangle.
(c) \displaystyle P_{a''}(t)=\sin^2\!\bigl(\tfrac{\delta t}{\hbar}\bigr).
(d) Ex.: partícula em um poço duplo com tunelamento (estados localizados em cada poço acoplados por amplitude \delta); também aplica-se a inversão da molécula de amônia, a um spin-1/2 em campo transverse ou a um par de níveis atômicos acoplados (oscilações Rabi).

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