Let \left|a^{\prime}\right\rangle and \left|a^{\prime \prime}\right\rangle be eigenstates of a Hermitian operator A with eigenvalues a^{\prime} and a^{\prime \prime}, respectively ( a^{\prime} \neq a^{\prime \prime} ). The Hamiltonian operator is given by
where \delta is just a real number.
a. Clearly, \left|a^{\prime}\right\rangle and \left|a^{\prime \prime}\right\rangle are not eigenstates of the Hamiltonian. Write down the eigenstates of the Hamiltonian. What are their energy eigenvalues?
b. Suppose the system is known to be in state \left|a^{\prime}\right\rangle at t=0. Write down the state vector in the Schrödinger picture for t>0.
c. What is the probability for finding the system in \left|a^{\prime \prime}\right\rangle for t>0 if the system is known to be in state \left|a^{\prime}\right\rangle at t=0 ?
d. Can you think of a physical situation corresponding to this problem?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
\left|a'\right\rangle e \left|a''\right\rangle são autovetores ortonormais de um operador Hermitiano A, com autovalores distintos a' e a''.
onde \delta é um número real.
As perguntas são:
(a) Encontrar os autovetores e autovalores (energias) de H.
(b) Se o sistema está em \left|a'\right\rangle em t=0, escrever o vetor de estado no quadro de Schrödinger para t>0.
(c) Calcular a probabilidade de encontrar o sistema em \left|a''\right\rangle para t>0, dado o estado inicial \left|a'\right\rangle.
(d) Sugerir uma situação física correspondente a esse modelo.
Passo 2
Escolher a base \{\left|a'\right\rangle,\left|a''\right\rangle\} (ortonormal). Vamos calcular as componentes da matriz de H nessa base, usando \langle a_i|a_j\rangle=\delta_{ij}.
Calculemos:
e a base \{\left|\psi_+\right\rangle,\left|\psi_-\right\rangle\} é completa no subespaço gerado por \{\left|a'\right\rangle,\left|a''\right\rangle\}.
Expressão inversa:
Isto é a evolução temporal pedida (parte (b)). Observação: amplitude para \left|a'\right\rangle e \left|a''\right\rangle varia com o tempo, mantendo normalização.
Passo 6
Parte (c): probabilidade de encontrar \left|a''\right\rangle em tempo t.
A amplitude é
Comentário prático: isto significa oscilações coerentes (Rabi-like) entre os dois estados com frequência angular \omega=\delta/\hbar. A transferência completa para \left|a''\right\rangle ocorre quando \delta t/\hbar=\pi/2 + k\pi; o período da oscilação de probabilidade é T=\pi\hbar/\delta.
Passo 7
Parte (d): interpretação física.
Este modelo descreve um sistema de dois níveis acoplados por uma interação que “troca” as duas bases \left|a'\right\rangle e \left|a''\right\rangle. Exemplos físicos:
Uma partícula num poço duplo simétrico: \left|a'\right\rangle,\left|a''\right\rangle são estados localizados em cada poço e \delta é o elemento de tunelamento; então aparecem estados simétrico/anti-simétrico (ligante/antiligante) com energias \pm\delta e ocorre tunelamento periódico entre poços.
O inversor do NH3 (amônia): duas configurações relacionadas por tunelamento entre duas posições do átomo de N.
Um spin-1/2 num campo magnético transverse: escolhendo base \{|+\rangle_z,|-\rangle_z\} e com Hamiltoniano proporcional a \sigma_x obtém-se forma idêntica; o spin pré-cede/oscila entre estados.
Dois níveis atômicos acoplados (modelo de Rabi) no caso resonante sem termo diagonal — transições coerentes com frequência proporcional a \delta.
Esses exemplos mostram que o problema é o modelo mínimo de acoplamento entre duas configurações (ou sítios/níveis) e produz as famosas oscilações de probabilidade entre os níveis.
(d) Ex.: partícula em um poço duplo com tunelamento (estados localizados em cada poço acoplados por amplitude \delta); também aplica-se a inversão da molécula de amônia, a um spin-1/2 em campo transverse ou a um par de níveis atômicos acoplados (oscilações Rabi).