Um gerador de corrente alternada com f.e.m. máxima \mathcal{E}_{m}=110 \mathrm{~V} e frequência f_{d}=200 \mathrm{~Hz} produz oscilações em um circuito RLC em série com R=220 \Omega, L=150 mH e C=24 \mu F. Calcule
a) (0,5 ponto) a reatância capacitiva
b) (0,5 ponto) a reatância indutiva
c) (0,5 ponto) a impedância
d) (0,5 ponto) a amplitude da corrente

Passo 1

O enunciado dá um gerador com f.e.m. máxima e frequência que alimenta um circuito RLC série. Pedidos e dados (peguei estes valores do enunciado):
  • O que o enunciado pede:
    a) a reatância capacitiva;
    b) a reatância indutiva;
    c) a impedância do circuito (magnitude da impedância);
    d) a amplitude da corrente no circuito.
  • Valores fornecidos:
    • f.e.m. máxima: \mathcal{E}_{m}=110\\ \mathrm{V}.
    • frequência do gerador: f_{d}=200\\ \mathrm{Hz}.
    • resistência: R=220\\ \Omega.
    • indutância: L=150\\ \mathrm{mH} (ou seja L=0{,}150\\ \mathrm{H}).
    • capacitância: C=24\\ \mu\mathrm{F} (ou seja C=24\times10^{-6}\\ \mathrm{F}).

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular a frequência angular \omega. Explicação pequena e útil: em circuitos AC a frequência angular é a taxa de variação das fases no tempo e aparece nas fórmulas de reatância; ela se relaciona com a frequência f por \omega=2\pi f, onde
  • \omega é em rad/s,
  • f é em Hz,
  • \pi é a constante 3,1415…
Aplicando os valores:
\omega = 2\pi f_{d}=2\pi\cdot200=400\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx1256{,}64\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calcular a reatância capacitiva X_{C}. Conceito e fórmula: a reatância capacitiva mede a oposição do capacitor à corrente alternada; para uma frequência angular \omega e capacitância C vale
X_{C}=\frac{1}{\omega C}.
Aqui:
  • X_{C} está em \Omega;
  • \omega em \mathrm{rad/s};
  • C em \mathrm{F}.
Substituindo:
\omega C = 1256{,}637\ldots \times 24\times10^{-6}=0{,}0301593\ldots
X_{C}=\frac{1}{0{,}0301593\ldots}\approx33{,}16\\ \Omega.
Observação didática rápida: conforme a frequência aumenta, \omega C cresce e X_{C} diminui — capacitores deixam passar mais corrente em altas frequências.

Passo 4

Calcular a reatância indutiva X_{L}. Conceito e fórmula: a reatância indutiva mede a oposição do indutor à corrente alternada; vale
X_{L}=\omega L,
onde
  • L está em \mathrm{H}.
Substituindo:
X_{L}=1256{,}637\ldots \times 0{,}150 =188{,}4956\ldots\\ \Omega\approx188{,}50\\ \Omega.
Comentário didático: X_{L} aumenta com a frequência — indutores bloqueiam mais a corrente em altas frequências.

Passo 5

Calcular a impedância do circuito RLC em série. Explicação: em série a resistência e as reatâncias se combinam em forma complexa. A impedância complexa é
Z_{\text{complexo}}=R + j(X_{L}-X_{C}),
onde j é a unidade imaginária. Para a magnitude da impedância (o que o enunciado pede) usamos
Z=\sqrt{R^{2} + \bigl(X_{L}-X_{C}\bigr)^{2}}.
Substituindo os números que achamos:
X_{L}-X_{C}=188{,}4956\ldots-33{,}1640\ldots\approx155{,}3316\\ \Omega.
Z=\sqrt{220^{2} + 155{,}3316^{2}}=\sqrt{48400 + 24132{,}93\ldots}\approx269{,}36\\ \Omega.
Didática prática: a diferença X_{L}-X_{C} dá a reatância resultante (indutiva se positiva, capacitiva se negativa); a resistência entra quadrado na soma porque é a parte real da impedância.

Passo 6

Calcular a amplitude da corrente I_{m}. Em regime estacionário senoidal, a amplitude da corrente é dada por lei de Ohm generalizada:
I_{m}=\frac{\mathcal{E}_{m}}{Z},
onde \mathcal{E}_{m} é a f.e.m. máxima (amplitude da tensão) e Z a magnitude da impedância.
Substituindo:
I_{m}=\frac{110}{269{,}355\ldots}\approx0{,}409\\ \mathrm{A}.
Interpretação rápida: a corrente diminui quando a impedância aumenta; aqui a resistência domina, mas a reatância resultante também aumentou a impedância total.

Passo 7

Checagem de unidades e aproximações: todas as reatâncias e a impedância estão em \Omega e a corrente em ampère. Os arredondamentos foram feitos mantendo precisão adequada para uso em prova (3 algarismos significativos para a maioria dos resultados).

Resposta

a) X_{C}=33{,}16\\ \Omega
b) X_{L}=188{,}50\\ \Omega
c) Z=269{,}36\\ \Omega
d) I_{m}=0{,}409\\ \mathrm{A}

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