Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha uma carga trifásica equilibrada. Conhecemos:
a) a ligação do gerador ( \Delta ) e da carga ( \Delta );
b) a tensão de linha do gerador ( 220 V ), a frequência ( 60 Hz ), e a sequência de fase (inversa);
c) a impedância de cada um dos ramos da carga, (3+\mathrm{j} 4) \Omega;
d) a resistência 0,2 \Omega e a reatância indutiva 0,15 \Omega de cada fio da linha (desprezando as mútuas).
Calcule:
i) as tensões de fase e de linha no gerador
ii) as correntes de linha;
iii) as correntes de fase na carga;
iv) as tensões de fase e de linha na carga;
v) o diagrama de fasores
R: \dot{V}_{A B}=220 \angle 0^{0} V ; \dot{V}_{B C}=220 \angle 0^{0} \alpha V ; \dot{V}_{C A}=220 \angle 0^{0} \alpha^{2} V
R: \dot{I}_{A A^{\prime}}=66,8 \angle-21^{0} A ; \dot{I}_{B B^{\prime}}=66,8 \angle 99^{0} A ; \dot{I}_{C C^{\prime}}=66,8 \angle-141^{0} A
R: \dot{I}_{A^{\prime} B^{\prime}}=38,5 \angle-51^{0} A ; \dot{I}_{B^{\prime} C^{\prime}}=38,5 \angle 69^{0} A ; \dot{I}_{C^{\prime} A^{\prime}}=38,5 \angle-171^{0} A
R: \dot{V}_{A^{\prime} B^{\prime}}=192 \angle 2,1^{0} V ; \dot{V}_{B^{\prime} C^{\prime}}=192 \angle 122,1^{0} V ; \dot{V}_{C^{\prime} A^{\prime}}=192 \angle-117,9^{0} V

Passo 1

O enunciado descreve um gerador trifásico em \Delta que fornece por linhas simétricas uma carga trifásica também em \Delta, com impedância de cada ramo Z_{\Delta}=3+j4\\ \Omega. Cada fio da linha tem R=0{,}2\\ \Omega e X=0{,}15\\ \Omega. A tensão de linha no gerador é 220\\ \mathrm V, frequência 60\\ \mathrm{Hz} e sequência inversa. Precisamos achar
i) tensões de fase e de linha no gerador;
ii) correntes de linha;
iii) correntes de fase na carga;
iv) tensões de fase e de linha na carga;
v) listar os fasores para o diagrama.

Passo 2

Em conexão \Delta vale sempre
\text{tensão de fase} = \text{tensão de linha}.ãã
Como a sequência é inversa, podemos tomar como referência
\dot V_{AB}=220\angle 0^\circ\\ \mathrm V,\quad \dot V_{BC}=220\angle +120^\circ\\ \mathrm V,\quad \dot V_{CA}=220\angle -120^\circ\\ \mathrm V.

Passo 3

Para simplificar a resolução usamos o modelo por fase única em sequência negativa e convertemos a carga \Delta em estrela:
Z_Y=\frac{Z_\Delta}{3}=\frac{3+j4}{3}=1+j1{,}333\\ \Omega.
Em sequência negativa, a tensão de fase do gerador (fase a para o “neutro” fictício) é
\dot V_a=\frac{220}{\sqrt3}\angle+30^\circ=127{,}0\angle30^\circ\\ \mathrm V.

Passo 4

Cada fase vê em série a impedância de um fio e o Z_Y convertido:
Z_{\text{total}}=Z_{\ell}+Z_Y=(0{,}2+j0{,}15)+(1+j1{,}333)=1{,}2+j1{,}483\\ \Omega.
|\!Z_{\text{total}}|=\sqrt{1{,}2^2+1{,}483^2}=1{,}909\\ \Omega,\quad \angle Z_{\text{total}}=51{,}0^\circ.
A corrente de linha (que em modelo Y é a corrente de fase) é
\dot I_a=\frac{\dot V_a}{Z_{\text{total}}} =\frac{127{,}0\angle30^\circ}{1{,}909\angle51^\circ} =66{,}8\angle-21{,}0^\circ\\ \mathrm A.
As outras duas fases seguem sequência inversa ( \alpha^2 e \alpha):
\dot I_b=\dot I_a\,\alpha^2,\quad \dot I_c=\dot I_a\,\alpha.

Passo 5

Para achar as correntes nos ramos da \Delta (cada ramo A'B', B'C', C'A') usamos a relação \Delta–Y:
I_{A'B'}=\frac{I_a}{\sqrt3} =38{,}5\angle(-21{,}0^\circ-30^\circ) =38{,}5\angle-51{,}0^\circ\\ \mathrm A,
e os demais por deslocamento de fase ( +120\circ cada).

Passo 6

A tensão de fase na carga é
\dot V_{a'}=\dot V_a - Z_{\ell}\,\dot I_a =127{,}0\angle30^\circ - (0{,}2+j0{,}15)\,66{,}8\angle-21^\circ \approx110{,}9\angle32{,}2^\circ\\ \mathrm V.
Em sequência inversa as demais fases são
\dot V_{b'}=110{,}9\angle152{,}2^\circ e
\dot V_{c'}=110{,}9\angle-87{,}8^\circ.
As tensões de linha na carga saem de
\dot V_{A'B'}=\sqrt3\,\dot V_{a'}\angle-30^\circ, etc., dando
\dot V_{A'B'}=192{,}4\angle2{,}2^\circ\\ \mathrm V,\quad \dot V_{B'C'}=192{,}4\angle122{,}2^\circ\\ \mathrm V,\quad \dot V_{C'A'}=192{,}4\angle-117{,}8^\circ\\ \mathrm V.

Passo 7

Reunindo todos os fasores para o diagrama, tomando R como referência em V_{AB} e sequência inversa:
\dot V_{AB}=220\angle0^\circ\\ \mathrm V \dot V_{BC}=220\angle120^\circ\\ \mathrm V \dot V_{CA}=220\angle-120^\circ\\ \mathrm V \dot I_{AA'}=66{,}8\angle-21{,}0^\circ\\ \mathrm A \dot I_{BB'}=66{,}8\angle99{,}0^\circ\\ \mathrm A \dot I_{CC'}=66{,}8\angle-141{,}0^\circ\\ \mathrm A \dot I_{A'B'}=38{,}5\angle-51{,}0^\circ\\ \mathrm A \dot I_{B'C'}=38{,}5\angle69{,}0^\circ\\ \mathrm A \dot I_{C'A'}=38{,}5\angle-171{,}0^\circ\\ \mathrm A \dot V_{A'B'}=192{,}4\angle2{,}2^\circ\\ \mathrm V \dot V_{B'C'}=192{,}4\angle122{,}2^\circ\\ \mathrm V \dot V_{C'A'}=192{,}4\angle-117{,}8^\circ\\ \mathrm V

Resposta

(i) \dot V_{AB}=220\angle0^\circ\\ \mathrm V,\\ \dot V_{BC}=220\angle120^\circ\\ \mathrm V,\\ \dot V_{CA}=220\angle-120^\circ\\ \mathrm V.
(ii) \dot I_{AA'}=66{,}8\angle-21{,}0^\circ\\ \mathrm A,\\ \dot I_{BB'}=66{,}8\angle99{,}0^\circ\\ \mathrm A,\\ \dot I_{CC'}=66{,}8\angle-141{,}0^\circ\\ \mathrm A.
(iii) \dot I_{A'B'}=38{,}5\angle-51{,}0^\circ\\ \mathrm A,\\ \dot I_{B'C'}=38{,}5\angle69{,}0^\circ\\ \mathrm A,\\ \dot I_{C'A'}=38{,}5\angle-171{,}0^\circ\\ \mathrm A.
(iv) Tensões de fase na carga: \dot V_{A'n'}=110{,}9\angle32{,}2^\circ\\ \mathrm V,\\ \dot V_{B'n'}=110{,}9\angle152{,}2^\circ\\ \mathrm V,\\ \dot V_{C'n'}=110{,}9\angle-87{,}8^\circ\\ \mathrm V; tensões de linha: \dot V_{A'B'}=192{,}4\angle2{,}2^\circ\\ \mathrm V,\\ \dot V_{B'C'}=192{,}4\angle122{,}2^\circ\\ \mathrm V,\\ \dot V_{C'A'}=192{,}4\angle-117{,}8^\circ\\ \mathrm V.
(v) O diagrama de fasores é dado pelos mesmos fasores listados no passo 7.

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