(5) Um gerador trifásico simétrico alimenta por meio de uma linha uma carga trifásica equilibrada. Conhecendo:
Impedância da linha: \mathbf{0 , 0 5}+\mathbf{j 0 , 1 5} \boldsymbol{\Omega}
Tensão de linha na carga: 220 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}
Potência absorvida pela carga: 60 \mathrm{~kW} \operatorname{com} \cos \varphi=0,6 indutivo
Adotando \mathrm{S}_{\mathrm{hF}}=100 \mathrm{kVA}, determine:
a) A tensão no gerador

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Impedância da linha: Z_{\ell} = 0,05 + j0,15\\ \Omega.
  • Tensão de linha na carga (tensão trifásica entre linhas no lado da carga): V_{L,\text{carga}} = 220\\ \mathrm{V} (frequência 60\\ \mathrm{Hz}, que aqui não entra nos cálculos).
  • Potência absorvida pela carga: P_{\text{carga}} = 60\\ \mathrm{kW}.
  • Fator de potência da carga: \cos\varphi = 0,6 indutivo (ou seja, corrente defasada em relação à tensão, corrente lag).
  • Adotado: S_{\mathrm{hF}} = 100\\ \mathrm{kVA}.
  • O que se pede: (a) a tensão no gerador (interpreto como a tensão de linha gerador V_{L,\text{gerador}}, magnitude e argumento).
Observações úteis que usarei depois (não são resolução ainda):
  • Para sistema trifásico equilibrado vale \;S = P + jQ\; (potência total trifásica).
  • Relação trifásica entre potência, tensão de linha e corrente de linha: \;S = \sqrt{3}\,V_L I^*\;, portanto \;I = \dfrac{S^*}{\sqrt{3}\,V_L}\;.
  • Se for necessário modelar o gerador através de uma impedância equivalente a partir de S_{\mathrm{hF}}, uso a relação trifásica clássica para curta-circuito: \;S_{\mathrm{hF}} = \dfrac{V_L^2}{|Z_g|}\;, o que dá |Z_g| = \dfrac{V_L^2}{S_{\mathrm{hF}}}.

Passo 2

Interpretação e hipóteses metodológicas (por que escolhi este método).
  • Temos a linha com impedância conhecida em série com a impedância interna do gerador. A tensão conhecida de 220\\ \mathrm{V} é a tensão presente na carga; para achar a tensão no gerador é só somar a queda de tensão na linha e na impedância interna do gerador à tensão da carga (no domínio fasorial, por fase).
  • Preciso da impedância interna do gerador. O enunciado dá S_{\mathrm{hF}} (curto-circuito adotado). A maneira direta e comum em exercícios é obter a impedância interna (módulo) por \;|Z_g| = \dfrac{V_L^2}{S_{\mathrm{hF}}}\;, assumindo que a impedância é predominantemente reativa (geradores têm pequena resistência comparada à reatância). Vou então assumir Z_g = jX_g (reatância pura) com |Z_g| = X_g. Essa hipótese é padrão quando se fornece apenas S_{\mathrm{hF}}.
  • Escolhi trabalhar por fase (tensão fase-neutro) porque facilita multiplicação por corrente de fase; lembre que V_{\text{ph}} = \dfrac{V_L}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Calcular a potência reativa da carga e o fasor da potência trifásica.
  • Ângulo de fase da carga \varphi = \operatorname{arccos}(0,6). Não preciso do valor numérico em graus para todos os passos, mas registro que \tan\varphi = \dfrac{\sqrt{1-0,6^2}}{0,6} = \dfrac{0,8}{0,6} = \dfrac{4}{3}.
  • Potência reativa (indutiva) da carga:
Q_{\text{carga}} = P_{\text{carga}}\tan\varphi = 60\\ \mathrm{kW}\cdot \frac{4}{3} = 80\\ \mathrm{kVAr}.
  • Assim a potência complexa trifásica da carga é
S_{\text{carga}} = P_{\text{carga}} + jQ_{\text{carga}} = 60\\ \mathrm{kW} + j\,80\\ \mathrm{kVAr}.

Passo 4

Calcular a corrente de linha (fasor) que a carga puxa, usando a tensão de linha na carga V_{L,\text{carga}}=220\\ \mathrm{V}.
  • Relação trifásica em fasores:
I = \dfrac{S^*}{\sqrt{3}\,V_L},
onde S^* é o conjugado de S (isso dá o fasor da corrente compatível com tensão de referência positiva).
  • Calculo numérico: \sqrt{3}\,V_L = \sqrt{3}\cdot 220 \approx 1,732\cdot 220 = 381,04.
  • O conjugado de S_{\text{carga}} é S_{\text{carga}}^* = 60\\ \mathrm{kW} - j\,80\\ \mathrm{kVAr} = 60\,000 - j\,80\,000 (em VA).
  • Então o fasor da corrente é
I = \dfrac{60\,000 - j\,80\,000}{381,04} = 157,56 - j\,209,40\\ \mathrm{A}.
  • Magnitude e ângulo (verificação): |I| = \dfrac{|S|}{\sqrt{3}\,V_L} = \dfrac{100\,000}{381,04}\approx 262{,}4\\ \mathrm{A} e o ângulo é -\varphi \approx -53{,}13^\circ (corrente defasada a montante, compatível com pf indutivo).

Passo 5

Calcular a queda de tensão na linha (por fase) usando V_{\ell,\text{queda}} = I\cdot Z_{\ell}.
  • Multiplicação de fasores (componentes reais e imaginárias):
Z_{\ell} = 0,05 + j\,0,15\\ \Omega, \qquad I = 157,56 - j\,209,40\\ \mathrm{A}.
  • Produto I\cdot Z_{\ell}:
I\cdot Z_{\ell}=(157,56 - j\,209,40)(0,05 + j\,0,15).
Faço a conta por partes:
\begin{aligned} \Re &: \;157,56\cdot 0,05 - (-209,40)\cdot 0,15 = 7,878 + 31,41 = 39,288,\\\ \Im &: \;157,56\cdot 0,15 + (-209,40)\cdot 0,05 = 23,634 - 10,470 = 13,164. \end{aligned}
Portanto
V_{\ell,\text{queda}} = 39,288 + j\,13,164\\ \mathrm{V}.
  • Magnitude da queda na linha (por fase): |V_{\ell,\text{queda}}| \approx \sqrt{39,288^2 + 13,164^2}\approx 41,44\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Determinar a impedância interna do gerador a partir de S_{\mathrm{hF}}, assumindo reatância pura Z_g = jX_g.
  • Relação trifásica para potência de curto-circuito adotada:
S_{\mathrm{hF}} = \dfrac{V_L^2}{|Z_g|}\quad\Rightarrow\quad |Z_g| = \dfrac{V_L^2}{S_{\mathrm{hF}}}.
Aqui estou usando V_L = 220\\ \mathrm{V} como referência porque S_{\mathrm{hF}} foi dado sem outra tensão de referência; essa é a hipótese usual em exercícios didáticos (usar a tensão conhecida).
  • Então
X_g = |Z_g| = \dfrac{220^2}{100\,000} = \dfrac{48\,400}{100\,000} = 0,484\\ \Omega.
  • Adoto Z_g = j\,0,484\\ \Omega.
(Comentário: se o enunciado tivesse especificado outra tensão de base para S_{\mathrm{hF}} seria preciso usar essa base; aqui a escolha é natural e padrão.)

Passo 7

Calcular a queda de tensão na impedância interna do gerador: V_{g,\text{queda}} = I\cdot Z_g.
  • Usando Z_g = j\,0,484\\ \Omega e I = 157,56 - j\,209,40\\ \mathrm{A}:
I\cdot Z_g = (157,56 - j\,209,40)\cdot j\,0,484.
Multiplicando por j é rotação de +90^\circ, mas faço em componentes:
j\,0,484 = 0 + j\,0,484.
Produto:
\begin{aligned} \Re &: \;157,56\cdot 0 - (-209,40)\cdot 0,484 = 0 + 101,720\approx 101,720,\\\ \Im &: \;157,56\cdot 0,484 + (-209,40)\cdot 0 = 76,232 + 0 \approx 76,232. \end{aligned}
Portanto
V_{g,\text{queda}} \approx 101,720 + j\,76,232\\ \mathrm{V}.
(Magnitudes: |V_{g,\text{queda}}|\approx \sqrt{101,72^2+76,23^2}\approx 127,65\\ \mathrm{V}.)

Passo 8

Somar as tensões fasoriais para obter a tensão de fase do gerador: V_{\text{ph,gerador}} = V_{\text{ph,carga}} + V_{\ell,\text{queda}} + V_{g,\text{queda}}.
  • Primeiro a tensão de fase na carga:
V_{\text{ph,carga}} = \dfrac{V_{L,\text{carga}}}{\sqrt{3}} = \dfrac{220}{\sqrt{3}} \approx 127,02\\ \mathrm{V}\quad(\text{tomada como referência, ângulo }0^\circ).êâ
  • Já temos:
V_{\ell,\text{queda}} = 39,288 + j\,13,164\\ \mathrm{V}, \qquad V_{g,\text{queda}} = 101,720 + j\,76,232\\ \mathrm{V}.
  • Soma por componentes (fase a fase):
\begin{aligned} \Re(V_{\text{ph,gerador}}) &= 127,02 + 39,288 + 101,720 = 267,028\\ \mathrm{V},\\\ \Im(V_{\text{ph,gerador}}) &= 0 + 13,164 + 76,232 = 89,396\\ \mathrm{V}. \end{aligned}
(Observação: diferenças de arredondamento pequenas; é compatível com contas anteriores.)
  • Módulo e ângulo da tensão de fase no gerador:
|V_{\text{ph,gerador}}| = \sqrt{267,028^2 + 89,396^2} \approx 282,2\\ \mathrm{V},
\angle V_{\text{ph,gerador}} = \arctan\!\left(\dfrac{89,396}{267,028}\right) \approx 18{,}46^\circ.

Passo 9

Converter a tensão de fase do gerador para tensão de linha (tensão entre linhas) do gerador, que é o que o enunciado pede.
  • Relação: V_{L,\text{gerador}} = \sqrt{3}\,V_{\text{ph,gerador}}.
  • Aplicando o valor calculado:
|V_{L,\text{gerador}}| = \sqrt{3}\cdot 282{,}2 \approx 1,732\cdot 282{,}2 \approx 488{,}9\\ \mathrm{V}.
  • Ângulo permanece \approx 18{,}46^\circ (refere-se ao deslocamento de fase entre a tensão de geração e a tensão de fase da carga).

Resposta

V_{L,\text{gerador}} \approx 488{,}9\\ \mathrm{V}\quad\angle\;18{,}46^\circ

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