Geral: Calcular a velocidade de queda de partículas de CaCO3 com 0,5 mm de diâmetro em água a 25^circ C. Dispondo de 2 min para sedimentar o CaCO3, qual a altura do sedimentador?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a velocidade de queda terminal de partículas esféricas de carbonato de cálcio ( CaCO3) de diâmetro ,0,5rm,mm em água a 25^circrm C, e em seguida, com essa velocidade e um tempo de 2 min, determinar a altura mínima que o sedimentador deve ter para que as partículas atinjam o fundo nesse intervalo de tempo. O conteúdo utilizado é dinâmica de partículas em meios fluidos: equilíbrio entre peso, empuxo e arraste (força de resistência do fluido). Precisamos das propriedades físicas da partícula e do fluido e da expressão de arraste para esferas em regime de Reynolds intermediário (Schiller–Naumann).

Passo 2

Reúnem-se os dados físicos:
bul<=t Diâmetro da partícula:
d = 0,5rm,mm = 5,0times10^-4,m
bul<=t Densidade do carbonato de cálcio:
rhop = 2710rm kg/m^3
bul<=t Densidade da água a 25^circrm C:
rhof = 997rm kg/m^3
bul<=t Viscosidade dinâmica da água a 25^circrm C:
mu = 0,89times10^-3rm Pacdot s
bul<=t Aceleração da gravidade:
g = 9,81rm m/s^2

Passo 3

Num escoamento estacionário de uma partícula esférica, equilibra-se peso líquido e arraste:
pi d^36(rhop-rhof),g = 12,Cd,rhof,pi d^24,v^2,
onde v é a velocidade terminal e Cd o coeficiente de arraste. Simplificando, obtemos
v = raiz4,d,(rhop-rhof),g3,Cd,rhof
O Cd depende do número de Reynolds da partícula
Re = rhof,v,dmu,
e para esferas em regime intermediário usamos a correlação de Schiller–Naumann:
Cd = 24Re + 3raizRe + 0,34
Como v aparece dentro de Re e em Cd, resolvemos por iteração.

Passo 4

Fazendo a iteração numérica:
1. chute inicial pelo regime de Stokes:
v0=(rhop-rhof),g,d^218,muapprox0,26rm,m/s.
2. calcula-se Re0, obtém-se Cd,0 e entra-se na fórmula de v para achar v1.
3. repete-se até convergência.
Após algumas iterações chega-se a
v approx 0,098rm m/s

Passo 5

Com a velocidade terminal conhecida e querendo que a partícula percorra a coluna de líquido em t=2 min =120 s, a altura do sedimentador deve ser
h = v,t approx 0,098rm,mstimes120 s = 11,8 m

Resposta

A altura mínima do sedimentador é aproximadamente 11,8rm m.

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