Em geral as equações de segunda ordem não podem ser resolvidas por métodos projetados para equações de primeira ordem. No entanto, existem dois tipos de equações de segunda ordem que podem ser transformados em equações de primeira ordem por uma mudança de variável apropriada. São as a) Equações Sem a Variável Dependente e as b) Equações Sem a Variável Independente.
(b) Para uma equações diferencial de segunda ordem da forma y^prime prime=f(y ; y^prime), ao definirmos v=y^prime, obtemos v^prime=f(y; v). Como a expressão do lado direito depende de y e v, em vez de x e v, essa equação contém variáveis demais. No entanto, se pensarmos em y como sendo a variável independente, pela regra da cadeia, temos d v / d x=(d v / d y)(d y / d x)=v(d v / d y). Portanto, a equação diferencial original pode ser escrita como v(d v / d y)=f(y ; v). Se essa equação de primeira ordem puder ser resolvida, obtemos v como função de y. Então podemos obter uma relação entre y e x resolvendo dy/dx =v(y), que é uma equação separável. Use essa substituição para resolver as equações dadas. (Esse recurso foi usado na determinação da velocidade de escape)
i. y^prime prime ^prime+(y^prime)^2=0.
ii. y^prime prime+y=0.
iii. y^prime prime+(y^prime)^2=2 e^-y.

Passo 1

Temos três equações diferenciais de segunda ordem da forma y''=f(y,y'), onde o lado direito depende apenas de y e y'. O conteúdo que vamos usar é a redução de ordem em equações sem a variável independente, aplicando a mudança de variável v=y' e a regra da cadeia y''=v,dv/dy.

Passo 2

Definindo v=y', temos dv/dx=f(y,v). Pela regra da cadeia:\
$$
\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}=v\frac{dv}{dy} dvdx=dvdydydx=vdvdy
v\frac{dv}{dy}=f(y,v)$$
Depois de resolver essa EDO para obter v(y), integramos vdvdy=f(y,v), que normalmente é separável.

Passo 3

Para a equação i) y''+(y')^2=0 temos
vdvdy=-v^2
Se vneq0, separamos variáveis:
dvv=-dy
integrando:
ln|v|=-y+C1Longrightarrow v=C2e^-y
Como v=dy/dx, temos
$$
\frac{dy}{dx}=C_2e^{-y} dydx=C2e^-y
e^{y}dy=C_2dx\quad\Longrightarrow\quad e^{y}=C_2x+C_3
e^ydy=C2dxLongrightarrow e^y=C2x+C3
y(x)=\ln(C_2x+C_3).$$

Passo 4

Para a equação ii) y''+y=0 temos
vdvdy=-y
Multiplicando por dy e integrando:
v^22=-y^22+C4Longrightarrow v^2+y^2=K^2,
com K^2=2C4. Então
$$
\frac{dy}{dx}=v=\pm\sqrt{K2-y2} dydx=v=pmraizK^2-y^2éá
\int\frac{dy}{\sqrt{K2-y2}}=\pm\int dx\quad\Longrightarrow\quad\arcsin\frac{y}{K}=\pm x+C_5
integraldyraizK^2-y^2=pmintegral dxLongrightarrowarcsinyK=pm x+C5
y(x)=K\sin(x+\phi),
$$
onde y(x)=Ksin(x+phi), .

Passo 5

Para a equação iii) y''+(y')^2=2e^-y temos
vdvdy=2e^-y-v^2
Defina u=v^2. Então
dudy=2vdvdy=2(2e^-y-v^2)=4e^-y-2u
Isso é uma EDO linear em u(y):
dudy+2u=4e^-y
Fator integrante e^2y leva a
ddy(u e^2y)=4e^yLongrightarrow u e^2y=4e^y+C6
ou
v^2=u=4e^-y+C6e^-2y
Como v=dy/dx,
dydx=pm e^-yraiz4e^y+C6
Separamos com a troca w=4e^y+C6 e integramos, chegando a
4e^y+C6=4(x+C7)^2Longrightarrow e^y=(x+C7)^2-C64
Assim
y(x)=lnl((x+C7)^2+Dr),
com constantes arbitrárias C7,D.

Resposta

i) y(x)=\ln(Ax+B). ii) y(x)=K\sin(x+\phi). iii) y(x)=\ln\bigl((x+C)^2+D\bigr), com A,B,K,\phi,C,D constantes arbitrárias.

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