Em geral as equações de segunda ordem não podem ser resolvidas por métodos projetados para equações de primeira ordem. No entanto, existem dois tipos de equações de segunda ordem que podem ser transformados em equações de primeira ordem por uma mudança de variável apropriada. São as a) Equações Sem a Variável Dependente e as b) Equações Sem a Variável Independente.
(b) Para uma equações diferencial de segunda ordem da forma
, ao definirmos
, obtemos
; v). Como a expressão do lado direito depende de y e v, em vez de x e v, essa equação contém variáveis demais. No entanto, se pensarmos em y como sendo a variável independente, pela regra da cadeia, temos
. Portanto, a equação diferencial original pode ser escrita como
. Se essa equação de primeira ordem puder ser resolvida, obtemos v como função de y. Então podemos obter uma relação entre y e x resolvendo dy/dx
, que é uma equação separável. Use essa substituição para resolver as equações dadas. (Esse recurso foi usado na determinação da velocidade de escape)
i.
.
ii.
.
iii.
.
(b) Para uma equações diferencial de segunda ordem da forma
i.
ii.
iii.
Passo 1
Temos três equações diferenciais de segunda ordem da forma
, onde o lado direito depende apenas de
e
. O conteúdo que vamos usar é a redução de ordem em equações sem a variável independente, aplicando a mudança de variável
e a regra da cadeia
.
Passo 2
Definindo
, temos
. Pela regra da cadeia:\
$$
\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}=v\frac{dv}{dy}
v\frac{dv}{dy}=f(y,v)$$
Depois de resolver essa EDO para obter , integramos
, que normalmente é separável.
Depois de resolver essa EDO para obter
Passo 3
Para a equação i)
temos
Se
, separamos variáveis:
integrando:
Como
, temos
$$
\frac{dy}{dx}=C_2e^{-y}
e^{y}dy=C_2dx\quad\Longrightarrow\quad e^{y}=C_2x+C_3
y(x)=\ln(C_2x+C_3).$$
Passo 4
Para a equação ii)
temos
Multiplicando por
e integrando:
com
. Então
$$
\frac{dy}{dx}=v=\pm\sqrt{K2-y2}
\int\frac{dy}{\sqrt{K2-y2}}=\pm\int dx\quad\Longrightarrow\quad\arcsin\frac{y}{K}=\pm x+C_5
y(x)=K\sin(x+\phi),
$$
onde .
onde
Passo 5
Para a equação iii)
temos
Defina
. Então
Isso é uma EDO linear em
:
Fator integrante
leva a
ou
Como
,
Separamos com a troca
e integramos, chegando a
Assim
com constantes arbitrárias
.
Resposta
i) y(x)=\ln(Ax+B). ii) y(x)=K\sin(x+\phi). iii) y(x)=\ln\bigl((x+C)^2+D\bigr), com A,B,K,\phi,C,D constantes arbitrárias.