O trabalho consiste emn apresentar a solução das seguintés equaçõés diferenciais ordinárias separáveis.
d yd x=3 x y, y>0.

Passo 1

O exercício pede a solução da equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável dydx=3x y com a condição y>0. O conteúdo é separação de variáveis e integração para encontrar a família de soluções gerais.

Passo 2

Para separar as variáveis, colocamos todos os termos com y de um lado e os com x do outro. Dividindo ambos os lados por y e multiplicando por dx, obtemos 1y,dy=3x,dx. Esse é o passo fundamental de uma equação diferencial separável.

Passo 3

Agora integramos cada lado em relação à sua variável:
integral1y,dy=integral3x,dx
Isso leva a
ln|y|=32x^2+C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Como y>0, podemos remover o valor absoluto em ln|y| e exponenciar ambos os lados. Temos
ln y=32x^2+C
Aplicando a exponenciação e definindo C1=e^C>0, obtemos
$$
y=C_1e{\frac{3}{2}x2}
$$

Resposta

A solução geral da equação é y=C,e^tfrac32x^2, com C>0 constante de integração.

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