Um tensor é simétrico se \mathbf{T}^{t}=\mathbf{T}\left(T_{j i}=T_{i j}\right) e anti-simétrico se \mathbf{T}^{t}=-\mathbf{T}\left(T_{j i}=-T_{i j}\right). No caso de um tensor anti-simétrico, os 3 componentes diagonais são nulos. Considere um tensor \mathbf{T} definido como
Em geral, os tensores utilizados em Física são simétricos ou anti-simétricos.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que o tensor \mathbf{T} definido por
\mathbf{T}\cdot\vec{C}=\vec{\omega}\times\vec{C}
é anti‑simétrico, isto é, que \mathbf{T}^{t}=-\mathbf{T}. As informações dadas que vamos usar são:
A definição operacional: \mathbf{T} atua num vetor \vec{C} produzindo o produto vetorial \vec{\omega}\times\vec{C}.
A definição de transposto de tensor: \mathbf{T}^{t}\cdot\vec{C}=\vec{C}\cdot\mathbf{T} e T_{ij}^{t}=T_{ji}.
O objetivo concreto é determinar as componentes T_{ij} e mostrar que T_{ij}=-T_{ji}, além de obter os valores explicitados no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos escrever as componentes do produto vetorial \vec{\omega}\times\vec{C}. Se
Breve explicação didática: cada componente do produto vetorial é a soma alternada de produtos das componentes, por exemplo a componente 1 usa \omega_{2} com C_{3} menos \omega_{3} com C_{2}. É a fórmula padrão do produto vetorial em coordenadas.
Passo 3
Agora expressamos \mathbf{T}\cdot\vec{C} em componentes usando a convenção usual de soma sobre índices:
Como \mathbf{T}\cdot\vec{C}=\vec{\omega}\times\vec{C}, devemos ter para cada i a igualdade entre as expressões obtidas nos Passos 2 e 3. Vamos igualar termo a termo os coeficientes das C_{1},C_{2},C_{3}.
Expliquei cada passo: ao comparar expressões polinomiais na base \{C_{1},C_{2},C_{3}\} os coeficientes devem coincidir, por isso igualamos cada coeficiente correspondente.
Passo 5
Reunindo as componentes temos a matriz (forma de matriz antissimétrica conhecida como matriz “cross-product” ou matriz de Levi‑Civita aplicada a \vec{\omega}):
Verificamos a antissimetria comparando T_{ij} e T_{ji}: por exemplo T_{12}=-\omega_{3} e T_{21}=\omega_{3}, logo T_{21}=-T_{12}. O mesmo vale para os demais pares. Além disso, as entradas diagonais são todas zero: T_{11}=T_{22}=T_{33}=0. Isso mostra que \mathbf{T}^{t}=-\mathbf{T}, pois a transposta troca índices e, portanto, muda o sinal de cada elemento fora da diagonal.
Passo 6
Comentário de reforço didático e encorajador: portanto, operar com \vec{\omega}\times é o mesmo que multiplicar por essa matriz antissimétrica. Em provas, se pedirem para converter um produto vetorial numa operação linear matricial, memorize ou reconstrua a fórmula componente a componente como fizemos — é um procedimento direto e rápido. Respira, você já conseguiu o essencial!