Em geral, \mathbf{T} \cdot \mathbf{S} \neq \mathbf{S} \cdot \mathbf{T}. Assim, é útil definir o transposto de um tensor:
\mathbf{T}^{t} \cdot \vec{C}=\vec{C} \cdot \mathbf{T}, \quad T_{i j}^{t}=T_{j i}
Um tensor é simétrico se \mathbf{T}^{t}=\mathbf{T}\left(T_{j i}=T_{i j}\right) e anti-simétrico se \mathbf{T}^{t}=-\mathbf{T}\left(T_{j i}=-T_{i j}\right). No caso de um tensor anti-simétrico, os 3 componentes diagonais são nulos. Considere um tensor \mathbf{T} definido como
\mathbf{T} \cdot \vec{C}=\vec{\omega} \times \vec{C}
de modo que a operação \mathbf{T} seja equivalente a \vec{\omega} \times. Mostre que, nesse caso, \mathbf{T} é anti-simétrico:
T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \quad T_{21}=-T_{12}=\omega_{3}, \quad T_{32}=-T_{23}=\omega_{1}, \quad T_{13}=-T_{31}=\omega_{2}
Em geral, os tensores utilizados em Física são simétricos ou anti-simétricos.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que o tensor \mathbf{T} definido por
\mathbf{T}\cdot\vec{C}=\vec{\omega}\times\vec{C}
é anti‑simétrico, isto é, que \mathbf{T}^{t}=-\mathbf{T}. As informações dadas que vamos usar são:
  • A definição operacional: \mathbf{T} atua num vetor \vec{C} produzindo o produto vetorial \vec{\omega}\times\vec{C}.
  • A definição de transposto de tensor: \mathbf{T}^{t}\cdot\vec{C}=\vec{C}\cdot\mathbf{T} e T_{ij}^{t}=T_{ji}.
    O objetivo concreto é determinar as componentes T_{ij} e mostrar que T_{ij}=-T_{ji}, além de obter os valores explicitados no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos escrever as componentes do produto vetorial \vec{\omega}\times\vec{C}. Se
\vec{\omega}=(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}),\qquad \vec{C}=(C_{1},C_{2},C_{3}),
então a definição componente a componente do produto vetorial dá
(\vec{\omega}\times\vec{C})_{1}=\omega_{2}C_{3}-\omega_{3}C_{2},
(\vec{\omega}\times\vec{C})_{2}=\omega_{3}C_{1}-\omega_{1}C_{3},
(\vec{\omega}\times\vec{C})_{3}=\omega_{1}C_{2}-\omega_{2}C_{1}.
Breve explicação didática: cada componente do produto vetorial é a soma alternada de produtos das componentes, por exemplo a componente 1 usa \omega_{2} com C_{3} menos \omega_{3} com C_{2}. É a fórmula padrão do produto vetorial em coordenadas.

Passo 3

Agora expressamos \mathbf{T}\cdot\vec{C} em componentes usando a convenção usual de soma sobre índices:
(\mathbf{T}\cdot\vec{C})_{i}=\sum_{j=1}^{3}T_{ij}C_{j}=T_{i1}C_{1}+T_{i2}C_{2}+T_{i3}C_{3}.
Como \mathbf{T}\cdot\vec{C}=\vec{\omega}\times\vec{C}, devemos ter para cada i a igualdade entre as expressões obtidas nos Passos 2 e 3. Vamos igualar termo a termo os coeficientes das C_{1},C_{2},C_{3}.

Passo 4

Igualando componente a componente:
Para i=1:
T_{11}C_{1}+T_{12}C_{2}+T_{13}C_{3}=\omega_{2}C_{3}-\omega_{3}C_{2}.
Comparando coeficientes das componentes C_{1},C_{2},C_{3} obtemos
T_{11}=0,\qquad T_{12}=-\omega_{3},\qquad T_{13}=\omega_{2}.
Para i=2:
T_{21}C_{1}+T_{22}C_{2}+T_{23}C_{3}=\omega_{3}C_{1}-\omega_{1}C_{3},
logo
T_{21}=\omega_{3},\qquad T_{22}=0,\qquad T_{23}=-\omega_{1}.
Para i=3:
T_{31}C_{1}+T_{32}C_{2}+T_{33}C_{3}=\omega_{1}C_{2}-\omega_{2}C_{1},
logo
T_{31}=-\omega_{2},\qquad T_{32}=\omega_{1},\qquad T_{33}=0.
Expliquei cada passo: ao comparar expressões polinomiais na base \{C_{1},C_{2},C_{3}\} os coeficientes devem coincidir, por isso igualamos cada coeficiente correspondente.

Passo 5

Reunindo as componentes temos a matriz (forma de matriz antissimétrica conhecida como matriz “cross-product” ou matriz de Levi‑Civita aplicada a \vec{\omega}):
\mathbf{T}=\begin{pmatrix} 0 & -\omega_{3} & \omega_{2} \\\ \omega_{3} & 0 & -\omega_{1} \\\\ -\omega_{2} & \omega_{1} & 0 \end{pmatrix}.
Verificamos a antissimetria comparando T_{ij} e T_{ji}: por exemplo T_{12}=-\omega_{3} e T_{21}=\omega_{3}, logo T_{21}=-T_{12}. O mesmo vale para os demais pares. Além disso, as entradas diagonais são todas zero: T_{11}=T_{22}=T_{33}=0. Isso mostra que \mathbf{T}^{t}=-\mathbf{T}, pois a transposta troca índices e, portanto, muda o sinal de cada elemento fora da diagonal.

Passo 6

Comentário de reforço didático e encorajador: portanto, operar com \vec{\omega}\times é o mesmo que multiplicar por essa matriz antissimétrica. Em provas, se pedirem para converter um produto vetorial numa operação linear matricial, memorize ou reconstrua a fórmula componente a componente como fizemos — é um procedimento direto e rápido. Respira, você já conseguiu o essencial!

Resposta

T_{11}=T_{22}=T_{33}=0
T_{21}=-T_{12}=\omega_{3}
T_{32}=-T_{23}=\omega_{1}
T_{13}=-T_{31}=\omega_{2}

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