Da mesma forma que um vetor \vec{A} pode ser representado por 3 componentes ( A_{x}, A_{y} e A_{z} ), uma diádica pode ser especificada por 9 componentes:
O enunciado nos dá que uma diádica pode ser escrita como a soma das nove diadas base e que esses componentes podem ser organizados numa matriz. O que nos é dado explicitamente:
O objetivo implícito (o que vamos explicar/mostrar) é: como interpretar essa representação, como a diádica age sobre vetores, e qual é a relação prática entre a escrita em diadas e a multiplicação matricial que você usará na prova.
Passo 2
O que são as diadas base e por que elas geram qualquer diádica?
As direções canônicas são \hat{x},\hat{y},\hat{z}.
A diada \hat{e}_i\hat{e}_j (com i,j\in\{x,y,z\}) é um objeto que, quando age sobre um vetor, “seleciona” a componente na direção j e coloca um vetor na direção i.
Assim qualquer diádica pode ser expandida linearmente como
onde \delta_{jk} é o delta de Kronecker (vale 1 se j=k e 0 caso contrário). Essa identidade vem do fato de que \hat{e}_j\cdot\hat{e}_k=\delta_{jk}. Expliquei: a diada “multiplica” o vetor tomando o produto escalar da segunda parte da diada com o vetor e deixando a primeira parte como direção do resultado.
ou seja, a mesma expressão do passo anterior. Conclusão prática: quando na prova você vir \mathbf{T} dada por componentes T_{ij}, pode simplesmente formar a matriz (T_{ij}) e multiplicar pela coluna do vetor.]
onde \mathbf{S} é a parte antissimétrica. Em componentes essa associação é dada por
s_i=\tfrac12\,\varepsilon_{i j k}S_{j k},
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (essa fórmula é útil quando aparecer uma matriz antissimétrica e você quiser representá‑la por um vetor).
Passo 8
Resumo prático para prova (o que você deve decorar e usar):
Representação: \mathbf{T}=\sum_{i,j}T_{ij}\hat{e}_i\hat{e}_j corresponde à matriz [T_{ij}].
Ação em vetor: (\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_i=\sum_j T_{ij} v_j — use multiplicação de matriz por vetor.
Produto de vetores: \mathbf{a}\mathbf{b} tem componentes a_i b_j.
Transposta: (\mathbf{T}^T)_{ij}=T_{ji}.
Decomposição: \mathbf{T}=(\mathbf{T}+\mathbf{T}^T)/2+(\mathbf{T}-\mathbf{T}^T)/2.
Esses pontos resolvem a maior parte das questões envolvendo diádicas em provas de exatas.
Resposta
\mathbf{T}=\sum_{i,j\in\{x,y,z\}}T_{ij}\,\hat{e}_i\hat{e}_j corresponde à matriz [\mathbf{T}]=(T_{ij}) e age sobre um vetor \mathbf{v} pela regra (\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_i=\sum_{j}T_{ij}v_j, ou seja, \mathbf{T}\cdot\mathbf{v}=[\mathbf{T}]\begin{pmatrix}v_x\v_y\v_z\end{pmatrix}.