Da mesma forma que um vetor \vec{A} pode ser representado por 3 componentes ( A_{x}, A_{y} e A_{z} ), uma diádica pode ser especificada por 9 componentes:
\mathbf{T}=T_{x x} \hat{x} \hat{x}+T_{x y} \hat{x} \hat{y}+T_{x z} \hat{x} \hat{z}+T_{y x} \hat{y} \hat{x}+T_{y y} \hat{y} \hat{y}+T_{y z} \hat{y} \hat{z}+T_{z x} \hat{z} \hat{x}+T_{z y} \hat{z} \hat{y}+T_{z z} \hat{z} \hat{z} .
Esses componentes podem ser escritos convenientemente na forma de uma matriz,
[\mathbf{T}]=\left(\begin{array}{ccc} T_{x x} & T_{x y} & T_{x z} \\\ T_{y x} & T_{y y} & T_{y z} \\\ T_{z x} & T_{z y} & T_{z z} \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá que uma diádica pode ser escrita como a soma das nove diadas base e que esses componentes podem ser organizados numa matriz. O que nos é dado explicitamente:
\mathbf{T}=T_{x x} \hat{x}\hat{x}+T_{x y} \hat{x}\hat{y}+T_{x z} \hat{x}\hat{z}+T_{y x} \hat{y}\hat{x}+T_{y y} \hat{y}\hat{y}+T_{y z} \hat{y}\hat{z}+T_{z x} \hat{z}\hat{x}+T_{z y} \hat{z}\hat{y}+T_{z z} \hat{z}\hat{z}.
e
[\mathbf{T}]=\begin{pmatrix} T_{x x} & T_{x y} & T_{x z} \\\ T_{y x} & T_{y y} & T_{y z} \\\ T_{z x} & T_{z y} & T_{z z} \end{pmatrix}.
O objetivo implícito (o que vamos explicar/mostrar) é: como interpretar essa representação, como a diádica age sobre vetores, e qual é a relação prática entre a escrita em diadas e a multiplicação matricial que você usará na prova.

Passo 2

O que são as diadas base e por que elas geram qualquer diádica?
  • As direções canônicas são \hat{x},\hat{y},\hat{z}.
  • A diada \hat{e}_i\hat{e}_j (com i,j\in\{x,y,z\}) é um objeto que, quando age sobre um vetor, “seleciona” a componente na direção j e coloca um vetor na direção i.
  • Assim qualquer diádica pode ser expandida linearmente como
\mathbf{T}=\sum_{i\in\{x,y,z\}}\sum_{j\in\{x,y,z\}} T_{i j}\,\hat{e}_i\hat{e}_j,
onde T_{ij} são escalares (os componentes da diádica) e \hat{e}_i\hat{e}_j são as nove diadas base. Isso explica por que precisamos de 9 componentes.

Passo 3

Definindo a ação de uma diádica sobre um vetor (parte essencial para usar no exercício/prova).
  • Tome um vetor qualquer \mathbf{v} escrito nas bases canônicas:
\mathbf{v}=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}.
  • A regra de multiplicação da diada base por um vetor é
\hat{e}_i\hat{e}_j\cdot\hat{e}_k=\hat{e}_i(\hat{e}_j\cdot\hat{e}_k)=\hat{e}_i\delta_{jk},
onde \delta_{jk} é o delta de Kronecker (vale 1 se j=k e 0 caso contrário). Essa identidade vem do fato de que \hat{e}_j\cdot\hat{e}_k=\delta_{jk}. Expliquei: a diada “multiplica” o vetor tomando o produto escalar da segunda parte da diada com o vetor e deixando a primeira parte como direção do resultado.
  • Agora aplicamos \mathbf{T} a \mathbf{v}:
\mathbf{T}\cdot\mathbf{v} =\sum_{i}\sum_{j}T_{ij}\,\hat{e}_i\hat{e}_j\cdot\Big(\sum_k v_k\hat{e}_k\Big).
Usando a regra acima:
\mathbf{T}\cdot\mathbf{v} =\sum_{i}\sum_{j}\sum_k T_{ij} v_k\,\hat{e}_i\delta_{jk} =\sum_{i}\sum_{j} T_{ij} v_j\,\hat{e}_i.
Portanto a componente i-ésima do vetor resultante é
(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_i=\sum_{j} T_{i j} v_j.
Isto é exatamente a fórmula da multiplicação de uma matriz por um vetor coluna.

Passo 4

Como passar da escrita em diadas para multiplicação matricial na prática (o que você fará na prova).
  • Se você representar \mathbf{v} como o vetor coluna
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_x\\\ v_y\\\ v_z\end{pmatrix},
e [\mathbf{T}] pela matriz
[\mathbf{T}]=\begin{pmatrix} T_{x x} & T_{x y} & T_{x z} \\\ T_{y x} & T_{y y} & T_{y z} \\\ T_{z x} & T_{z y} & T_{z z} \end{pmatrix},
então a multiplicação \mathbf{T}\cdot\mathbf{v} coincide com o produto matricial
[\mathbf{T}]\begin{pmatrix}v_x\\\ v_y\\\ v_z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sum_j T_{x j} v_j\\[4pt] \sum_j T_{y j} v_j\\[4pt] \sum_j T_{z j} v_j \end{pmatrix},
ou seja, a mesma expressão do passo anterior. Conclusão prática: quando na prova você vir \mathbf{T} dada por componentes T_{ij}, pode simplesmente formar a matriz (T_{ij}) e multiplicar pela coluna do vetor.]

Passo 5

Exemplo numérico passo a passo (para fixar):
  • Seja
[\mathbf{T}]=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[2pt]4 & 5 & 6\\[2pt]7 & 8 & 9\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
  • Calculamos \mathbf{T}\cdot\mathbf{v} componente a componente:
(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_x = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot(-1)=1+0-3=-2,
(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_y = 4\cdot 1 + 5\cdot 0 + 6\cdot(-1)=4+0-6=-2,
(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_z = 7\cdot 1 + 8\cdot 0 + 9\cdot(-1)=7+0-9=-2.
  • Resultado:
\mathbf{T}\cdot\mathbf{v}=\begin{pmatrix}-2\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix}.
Isso mostra concretamente que a soma sobre a segunda index j dá o mesmo que a multiplicação matricial que você já conhece.]

Passo 6

Produto exterior de vetores (diádica construída a partir de vetores) — fórmula útil em provas:
  • Se \mathbf{a} e \mathbf{b} são vetores, a diádica \mathbf{a}\mathbf{b} (lê-se “a b” ou “a tensor b”) é definida por ação em vetores como
(\mathbf{a}\mathbf{b})\cdot\mathbf{v}=\mathbf{a}\,(\mathbf{b}\cdot\mathbf{v}).
  • Em componentes, se \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z), então a matriz correspondente é a matriz de posto 1 (outer product):
[\mathbf{a}\mathbf{b}]=\begin{pmatrix} a_x b_x & a_x b_y & a_x b_z\\[2pt] a_y b_x & a_y b_y & a_y b_z\\[2pt] a_z b_x & a_z b_y & a_z b_z \end{pmatrix},
ou seja, T_{ij}=a_i b_j. Na prova isso é muito útil para reconhecer estruturas de posto 1 e simplificar operações.]

Passo 7

Transposta, simétrica e antissimétrica — como ver isso nas componentes:
  • A transposta da diádica \mathbf{T} é a diádica \mathbf{T}^T cujo componente (i,j) é T_{ji}. Em termos de diadas:
(\hat{e}_i\hat{e}_j)^T=\hat{e}_j\hat{e}_i.
  • Você pode decompor qualquer diádica em simétrica e antissimétrica:
\mathbf{T}=\frac{\mathbf{T}+\mathbf{T}^T}{2}+\frac{\mathbf{T}-\mathbf{T}^T}{2}.
A parte simétrica corresponde à matriz simétrica; a antissimétrica pode ser associada a um vetor axial \mathbf{s} tal que, para todo \mathbf{v},
\mathbf{S}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{s}\times\mathbf{v},
onde \mathbf{S} é a parte antissimétrica. Em componentes essa associação é dada por
s_i=\tfrac12\,\varepsilon_{i j k}S_{j k},
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (essa fórmula é útil quando aparecer uma matriz antissimétrica e você quiser representá‑la por um vetor).

Passo 8

Resumo prático para prova (o que você deve decorar e usar):
  • Representação: \mathbf{T}=\sum_{i,j}T_{ij}\hat{e}_i\hat{e}_j corresponde à matriz [T_{ij}].
  • Ação em vetor: (\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_i=\sum_j T_{ij} v_j — use multiplicação de matriz por vetor.
  • Produto de vetores: \mathbf{a}\mathbf{b} tem componentes a_i b_j.
  • Transposta: (\mathbf{T}^T)_{ij}=T_{ji}.
  • Decomposição: \mathbf{T}=(\mathbf{T}+\mathbf{T}^T)/2+(\mathbf{T}-\mathbf{T}^T)/2.
    Esses pontos resolvem a maior parte das questões envolvendo diádicas em provas de exatas.

Resposta

\mathbf{T}=\sum_{i,j\in\{x,y,z\}}T_{ij}\,\hat{e}_i\hat{e}_j corresponde à matriz [\mathbf{T}]=(T_{ij}) e age sobre um vetor \mathbf{v} pela regra (\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_i=\sum_{j}T_{ij}v_j, ou seja, \mathbf{T}\cdot\mathbf{v}=[\mathbf{T}]\begin{pmatrix}v_x\v_y\v_z\end{pmatrix}.

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