Considere dois sistemas de coordenadas que tem a mesma origem O: x_{1}, x_{2} e x_{3} (sistema sem linha) e x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} e x_{3}^{\prime} (sistema com linha). As coordenadas de um ponto, nos dois sistemas, estão relacionadas pelas equações
x_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} x_{j}, \quad a_{i j}=\hat{e}_{i}^{\prime} \cdot \hat{e}_{j}
em que a_{i j} é o coseno do ângulo entre os eixos x_{i}^{\prime} e x_{j}. Da mesma forma,
x_{j}=\sum_{i=1}^{3} a_{i j} x_{i}^{\prime}
Um vetor qualquer \vec{C} pode ser escrito, em termos de seus componentes, como
\vec{C}=\sum_{i=1}^{3} c_{i}^{\prime} \hat{e}_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} c_{j} \hat{e}_{j}
em que c_{i}^{\prime} e c_{j} são os componentes de \vec{C} nos sistemas com linha e sem linha, respectivamente. Mostre que
c_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} c_{j}, \quad c_{j}=\sum_{i=1}^{3} a_{i j} c_{i}^{\prime}
Assim, define-se algebricamente um vetor como um conjunto de 3 componentes ( c_{1}, c_{2} e c_{3} ) que se transformam como as coordenadas ( x_{1}, x_{2} e x_{3} ) quando passamos de um sistema (sem linha) para outro (com linha).

Passo 1

O enunciado dá duas bases ortonormais com a mesma origem: os versores sem linha \hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3} e com linha \hat{e}_{1}^{\prime},\hat{e}_{2}^{\prime},\hat{e}_{3}^{\prime}. As informações relevantes são:
  • A definição dos coeficientes
a_{i j}=\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{j},
ou seja, a_{ij} é o cosseno do ângulo entre \hat{e}_{i}^{\prime} e \hat{e}_{j}.
  • A relação entre coordenadas de um ponto (fornecida no enunciado):
x_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} x_{j}, \qquad x_{j}=\sum_{i=1}^{3} a_{i j} x_{i}^{\prime}.
  • A expressão do vetor \vec{C} em ambas as bases:
\vec{C}=\sum_{i=1}^{3} c_{i}^{\prime}\hat{e}_{i}^{\prime} =\sum_{j=1}^{3} c_{j}\hat{e}_{j}.
O que se pede mostrar, claramente, são as transformações das componentes do vetor:
c_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} c_{j}, \qquad c_{j}=\sum_{i=1}^{3} a_{i j} c_{i}^{\prime}.

Passo 2

Antes de começar a manipular, vamos relembrar propriedades essenciais que usarei (explicadinhas calmamente):
  • Produto escalar (dot product): para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v}, o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} é linear em cada argumento e comutativo:
\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}, \qquad \vec{u}\cdot(\alpha\vec{v}+\beta\vec{w})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})+\beta(\vec{u}\cdot\vec{w}).
  • Bases ortonormais: para os versores de cada base vale
\hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{j}=\delta_{ij}, \qquad \hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{j}^{\prime}=\delta_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, e 0 caso contrário). Isso significa que os versores são mutuamente ortogonais e de norma unitária.
  • Extração de componentes por produto escalar: se \vec{C}=\sum_{k} c_{k}\hat{e}_{k} e os \hat{e}_{k} formam uma base ortonormal, então
c_{m}=\hat{e}_{m}\cdot\vec{C}.
Essa igualdade vem do fato de que \hat{e}_{m}\cdot\hat{e}_{k}=\delta_{mk}, então ao projetar \vec{C} sobre \hat{e}_{m} só sobra c_{m}.
Vou usar essas três ideias para obter as fórmulas pedidas.

Passo 3

Vamos obter a primeira relação \;c_{i}^{\prime}=\sum_{j} a_{ij} c_{j}.
Pegamos a expressão \vec{C}=\sum_{j=1}^{3} c_{j}\hat{e}_{j} e projetamos (fazemos produto escalar) com \hat{e}_{i}^{\prime}. Pelo item anterior, o lado esquerdo dá diretamente o componente primado:
\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\vec{C}=c_{i}^{\prime}.
Agora aplicamos linearidade do produto escalar ao lado direito:
\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\vec{C} =\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\left(\sum_{j=1}^{3} c_{j}\hat{e}_{j}\right) =\sum_{j=1}^{3} c_{j}\,(\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{j}).
Mas \hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{j} é exatamente a_{ij} pela definição dada. Portanto
c_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} c_{j} a_{ij}.
Isso é exatamente a primeira relação pedida. Cada passo foi: projetar para isolar o coeficiente, usar linearidade, e substituir pela definição de a_{ij}.

Passo 4

Agora derivamos a segunda relação \;c_{j}=\sum_{i} a_{ij} c_{i}^{\prime}.
Procedimento análogo: projetamos \vec{C}=\sum_{i=1}^{3} c_{i}^{\prime}\hat{e}_{i}^{\prime} sobre \hat{e}_{j}. Pela propriedade de extração de componente,
\hat{e}_{j}\cdot\vec{C}=c_{j}.
Pelo lado direito,
\hat{e}_{j}\cdot\vec{C} =\hat{e}_{j}\cdot\left(\sum_{i=1}^{3} c_{i}^{\prime}\hat{e}_{i}^{\prime}\right) =\sum_{i=1}^{3} c_{i}^{\prime}\,(\hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{i}^{\prime}).
Usando a comutatividade do produto escalar, \hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{i}^{\prime}=\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{j}, que é a_{ij}. Portanto
c_{j}=\sum_{i=1}^{3} c_{i}^{\prime} a_{ij}.
Isso é exatamente a segunda relação pedida.

Passo 5

Um comentário de consistência (útil na prova): as duas fórmulas acima combinam bem com as relações das coordenadas de pontos fornecidas no enunciado. A matriz A=(a_{ij}) é uma matriz de mudança de base entre bases ortonormais; por isso é uma matriz ortogonal. Isso implica A^{-1}=A^{T} e garante que a transformação seja invertível e consistente.
Para ver isso de forma rápida: multiplicando a expressão c_{i}^{\prime}=\sum_{j} a_{ij} c_{j} por \hat{e}_{i}^{\prime} e somando sobre i recuperamos \vec{C}; análogo ao que foi dado no enunciado para coordenadas. A ortogonalidade de A também se expressa pela identidade
\sum_{k=1}^{3} a_{ik}a_{jk}=\delta_{ij},
que vem de (\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{k})(\hat{e}_{j}^{\prime}\cdot\hat{e}_{k}) somado em k e usando completude da base — mas não precisa decorar isso na primeira vez: o essencial é que projetando você obtém as relações pedidas.

Passo 6

Um exemplo concreto rápido (pra fixar): se a base primada é a base sem linha girada de \theta em torno do eixo x_{3} (rotação em plano x_{1}x_{2}), então
A=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0\\[4pt] -\sin\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Para esse caso a regra c_{1}^{\prime}=\sum_{j} a_{1j}c_{j} fica
c_{1}^{\prime}=\cos\theta\,c_{1}+\sin\theta\,c_{2},
o que é exatamente projetar o vetor sobre o novo eixo girado; a intuição bate com a fórmula algébrica que provamos.]

Resposta

c_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} c_{j}\n c_{j}=\sum_{i=1}^{3} a_{i j} c_{i}^{\prime}

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