Considere dois sistemas de coordenadas que tem a mesma origem O: x_{1}, x_{2} e x_{3} (sistema sem linha) e x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} e x_{3}^{\prime} (sistema com linha). As coordenadas de um ponto, nos dois sistemas, estão relacionadas pelas equações
Assim, define-se algebricamente um vetor como um conjunto de 3 componentes ( c_{1}, c_{2} e c_{3} ) que se transformam como as coordenadas ( x_{1}, x_{2} e x_{3} ) quando passamos de um sistema (sem linha) para outro (com linha).
Passo 1
O enunciado dá duas bases ortonormais com a mesma origem: os versores sem linha \hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3} e com linha \hat{e}_{1}^{\prime},\hat{e}_{2}^{\prime},\hat{e}_{3}^{\prime}. As informações relevantes são:
A definição dos coeficientes
a_{i j}=\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{j},
ou seja, a_{ij} é o cosseno do ângulo entre \hat{e}_{i}^{\prime} e \hat{e}_{j}.
A relação entre coordenadas de um ponto (fornecida no enunciado):
Antes de começar a manipular, vamos relembrar propriedades essenciais que usarei (explicadinhas calmamente):
Produto escalar (dot product): para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v}, o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} é linear em cada argumento e comutativo:
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker (\delta_{ij}=1 se i=j, e 0 caso contrário). Isso significa que os versores são mutuamente ortogonais e de norma unitária.
Extração de componentes por produto escalar: se \vec{C}=\sum_{k} c_{k}\hat{e}_{k} e os \hat{e}_{k} formam uma base ortonormal, então
c_{m}=\hat{e}_{m}\cdot\vec{C}.
Essa igualdade vem do fato de que \hat{e}_{m}\cdot\hat{e}_{k}=\delta_{mk}, então ao projetar \vec{C} sobre \hat{e}_{m} só sobra c_{m}.
Vou usar essas três ideias para obter as fórmulas pedidas.
Passo 3
Vamos obter a primeira relação \;c_{i}^{\prime}=\sum_{j} a_{ij} c_{j}.
Pegamos a expressão \vec{C}=\sum_{j=1}^{3} c_{j}\hat{e}_{j} e projetamos (fazemos produto escalar) com \hat{e}_{i}^{\prime}. Pelo item anterior, o lado esquerdo dá diretamente o componente primado:
\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\vec{C}=c_{i}^{\prime}.
Agora aplicamos linearidade do produto escalar ao lado direito:
Mas \hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{j} é exatamente a_{ij} pela definição dada. Portanto
c_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} c_{j} a_{ij}.
Isso é exatamente a primeira relação pedida. Cada passo foi: projetar para isolar o coeficiente, usar linearidade, e substituir pela definição de a_{ij}.
Passo 4
Agora derivamos a segunda relação \;c_{j}=\sum_{i} a_{ij} c_{i}^{\prime}.
Procedimento análogo: projetamos \vec{C}=\sum_{i=1}^{3} c_{i}^{\prime}\hat{e}_{i}^{\prime} sobre \hat{e}_{j}. Pela propriedade de extração de componente,
Usando a comutatividade do produto escalar, \hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{i}^{\prime}=\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{j}, que é a_{ij}. Portanto
c_{j}=\sum_{i=1}^{3} c_{i}^{\prime} a_{ij}.
Isso é exatamente a segunda relação pedida.
Passo 5
Um comentário de consistência (útil na prova): as duas fórmulas acima combinam bem com as relações das coordenadas de pontos fornecidas no enunciado. A matriz A=(a_{ij}) é uma matriz de mudança de base entre bases ortonormais; por isso é uma matriz ortogonal. Isso implica A^{-1}=A^{T} e garante que a transformação seja invertível e consistente.
Para ver isso de forma rápida: multiplicando a expressão c_{i}^{\prime}=\sum_{j} a_{ij} c_{j} por \hat{e}_{i}^{\prime} e somando sobre i recuperamos \vec{C}; análogo ao que foi dado no enunciado para coordenadas. A ortogonalidade de A também se expressa pela identidade
\sum_{k=1}^{3} a_{ik}a_{jk}=\delta_{ij},
que vem de (\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{k})(\hat{e}_{j}^{\prime}\cdot\hat{e}_{k}) somado em k e usando completude da base — mas não precisa decorar isso na primeira vez: o essencial é que projetando você obtém as relações pedidas.
Passo 6
Um exemplo concreto rápido (pra fixar): se a base primada é a base sem linha girada de \theta em torno do eixo x_{3} (rotação em plano x_{1}x_{2}), então