- (Gere) Uma tensão normal no plano
de uma barra prismática em tração é de 8220 psi . No plano rs, que faz um ângulo
com o plano
, a tensão é de 3290 psi . Determine a máxima tensão normal
a máxima tensão de cislahamento
na barra.
Passo 1
O enunciado (e a figura) nos dão as seguintes informações (estou usando a figura enviada para pegar a orientação das planícies):
- A tensão normal na face
é . - A tensão normal na face
, que faz um ângulo com a face , é . - A barra está submetida a uma tração
(veja a figura), ou seja, a tração que atua sobre a face é puramente normal (não há componente de cisalhamento sobre essa face). Eu peguei essa informação observando a figura do enunciado. - O que se pede: determinar a máxima tensão normal
(tensão normal principal máxima) e a máxima tensão de cisalhamento na barra.
Passo 2
Escolhemos representar o estado de tensões usando o círculo de Mohr (método padrão e muito didático para este tipo de problema). Vou explicar os conceitos básicos antes de aplicar:
- No plano
do círculo de Mohr, cada plano físico do corpo corresponde a um ponto cuja abscissa é a tensão normal naquela face e cuja ordenada é a tensão de cisalhamento naquela face. - O centro do círculo de Mohr é a tensão média
(onde são as tensões principais). O raio do círculo é . - Um ângulo
de rotação física do plano corresponde a um ângulo no círculo de Mohr. Em particular, se duas faces físicas fazem entre si o ângulo , então os pontos correspondentes no círculo de Mohr estão separados por um ângulo . - No parâmetro angular do círculo, as coordenadas de um ponto são
onde é o ângulo do ponto medido a partir da direção onde e é máxima naquele ponto.
Passo 3
Aplicando esses conceitos aos dados:
- Pela figura a tração sobre a face
é puramente normal, portanto a tensão de cisalhamento nessa face é . O ponto correspondente no círculo de Mohr é . - A face
forma um ângulo com . No círculo de Mohr isso corresponde a uma separação angular de entre os pontos correspondentes. - Tomemos
para o ponto correspondente a . Assim, para esse ponto vale e (consistente). - O ponto correspondente à face
tem ângulo no círculo (porque está afastado na escala do círculo de Mohr). Logo sua abscissa é Sabemos , portanto
Passo 4
Agora resolvemos o sistema simples de duas equações em
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
:
Passo 5
Interpretação e cálculo das grandezas pedidas:
- As tensões principais (normais máximas e mínimas) são
Calculando:
Aqui
é a maior tensão normal (tensão principal máxima em sentido de tração) e
é a tensão principal mínima (compressiva).
- A máxima tensão de cisalhamento (módulo máximo de cisalhamento) é igual ao raio do círculo de Mohr:
Passo 6
Cheque rápido (verificação): a normal na face
calculada com os valores obtidos é
que confere com o dado do enunciado. Tudo consistente — boa notícia!