1. (Gere) Uma tensão normal no plano p q de uma barra prismática em tração é de 8220 psi . No plano rs, que faz um ângulo \beta=30^{\circ} com o plano p q, a tensão é de 3290 psi . Determine a máxima tensão normal \sigma_{\max } \mathrm{e} a máxima tensão de cislahamento \tau_{\max } na barra.

Passo 1

O enunciado (e a figura) nos dão as seguintes informações (estou usando a figura enviada para pegar a orientação das planícies):
  • A tensão normal na face pq é \;8220\\ \text{psi}.
  • A tensão normal na face rs, que faz um ângulo \beta=30^\circ com a face pq, é \;3290\\ \text{psi}.
  • A barra está submetida a uma tração P (veja a figura), ou seja, a tração que atua sobre a face pq é puramente normal (não há componente de cisalhamento sobre essa face). Eu peguei essa informação observando a figura do enunciado.
  • O que se pede: determinar a máxima tensão normal \sigma_{\max} (tensão normal principal máxima) e a máxima tensão de cisalhamento \tau_{\max} na barra.

Passo 2

Escolhemos representar o estado de tensões usando o círculo de Mohr (método padrão e muito didático para este tipo de problema). Vou explicar os conceitos básicos antes de aplicar:
  • No plano (\sigma,\tau) do círculo de Mohr, cada plano físico do corpo corresponde a um ponto cuja abscissa é a tensão normal \sigma naquela face e cuja ordenada é a tensão de cisalhamento \tau naquela face.
  • O centro do círculo de Mohr é a tensão média \;C=\dfrac{\sigma_1+\sigma_2}{2} (onde \sigma_1,\sigma_2 são as tensões principais). O raio do círculo é R=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  • Um ângulo \theta de rotação física do plano corresponde a um ângulo 2\theta no círculo de Mohr. Em particular, se duas faces físicas fazem entre si o ângulo \beta, então os pontos correspondentes no círculo de Mohr estão separados por um ângulo 2\beta.
  • No parâmetro angular do círculo, as coordenadas de um ponto são \sigma = C + R\cos\theta,\qquad \tau = R\sin\theta,onde \theta é o ângulo do ponto medido a partir da direção onde \tau=0 e \sigma é máxima naquele ponto.

Passo 3

Aplicando esses conceitos aos dados:
  • Pela figura a tração sobre a face pq é puramente normal, portanto a tensão de cisalhamento nessa face é \tau_{pq}=0. O ponto correspondente no círculo de Mohr é (\sigma,\tau)=(8220,\,0).
  • A face rs forma um ângulo \beta=30^\circ com pq. No círculo de Mohr isso corresponde a uma separação angular de 2\beta=60^\circ entre os pontos correspondentes.
  • Tomemos \theta=0 para o ponto correspondente a pq. Assim, para esse ponto vale \sigma_{pq} = C + R\cos 0 = C + R = 8220,e \tau_{pq}=R\sin 0 = 0 (consistente).
  • O ponto correspondente à face rs tem ângulo \theta=60^\circ no círculo (porque está 60^\circ afastado na escala do círculo de Mohr). Logo sua abscissa é \sigma_{rs} = C + R\cos 60^\circ = C + \tfrac{1}{2}R.Sabemos \sigma_{rs}=3290, portanto C + \tfrac{1}{2}R = 3290.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema simples de duas equações em C\) e \(R\): \[\begin{cases} C + R = 8220,\\[6pt] C + \tfrac{1}{2}R = 3290. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira:
\left(C+R\right)-\left(C+\tfrac{1}{2}R\right)=8220-3290
\tfrac{1}{2}R = 4930 \quad\Rightarrow\quad R = 2\cdot 4930 = 9860\\ \text{psi}.
Substituindo R\] em \(C+R=8220:
C = 8220 - 9860 = -1640\\ \text{psi}.]

Passo 5

Interpretação e cálculo das grandezas pedidas:
  • As tensões principais (normais máximas e mínimas) são \sigma_{1,2} = C \pm R.Calculando: \sigma_1 = C + R = -1640 + 9860 = 8220\\ \text{psi},
\sigma_2 = C - R = -1640 - 9860 = -11500\\ \text{psi}.
Aqui \sigma_1 é a maior tensão normal (tensão principal máxima em sentido de tração) e \sigma_2 é a tensão principal mínima (compressiva).
  • A máxima tensão de cisalhamento (módulo máximo de cisalhamento) é igual ao raio do círculo de Mohr: \tau_{\max} = R = 9860\\ \text{psi}.

Passo 6

Cheque rápido (verificação): a normal na face rs calculada com os valores obtidos é
\sigma_{rs} = C + R\cos 60^\circ = -1640 + 9860\cdot\frac{1}{2} = -1640 + 4930 = 3290\\ \text{psi},
que confere com o dado do enunciado. Tudo consistente — boa notícia!

Resposta

\sigma_{\max}=8220\\ \text{psi}\n
\tau_{\max}=9860\\ \text{psi}

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