O gerente de um almoxarifado informa que 30 \% das peças tipo W estão com defeitos. Numa inspeção de auditoria, calcule qual a probabilidade de que em 5 sorteios, sejam sorteados os seguintes eventos:
a) nenhuma peça com defeito R : \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)
b) exatamente duas peças com defeito \mathrm{R}: \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)
c) pelo menos duas peças com defeito \mathrm{R}: \mathrm{P}(\mathrm{X}>=2)=1-\mathrm{P}(\mathrm{X}<2)=1-[\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)]

Passo 1

O enunciado diz que em cada peça tipo W a probabilidade de estar com defeito é 30\%. Foram feitos n=5 sorteios independentes e queremos a probabilidade de X peças com defeito, isto é, X segue a distribuição binomial com parâmetros n=5 e p=0,3. Vamos usar a fórmula
P(X=k) = \binom{5}{k}\,p^k\,(1-p)^{5-k}.

Passo 2

Para k=0, aplicamos diretamente a fórmula:
P(X=0) = \binom{5}{0}\,(0,3)^0\,(0,7)^5 = 1\cdot1\cdot(0,7)^5.

Passo 3

Calculando (0,7)^5:
(0,7)^5 = 0,7^5 = 0,16807.
Logo
P(X=0) = 0,16807.

Passo 4

Para k=2, usamos
P(X=2) = \binom{5}{2}\,(0,3)^2\,(0,7)^3.
Como \binom{5}{2}=10,
P(X=2) = 10 \times 0,3^2 \times 0,7^3 = 10 \times 0,09 \times 0,343 = 0,30870.

Passo 5

Para P(X\ge2), usamos
P(X\ge2) = 1 - P(X<2) = 1 - [P(X=0)+P(X=1)].
Já temos P(X=0)=0,16807. Falta P(X=1):
P(X=1) = \binom{5}{1}\,0,3^1\,0,7^4 = 5 \times 0,3 \times 0,2401 = 0,36015.
Portanto
P(X\ge2) = 1 - (0,16807 + 0,36015) = 1 - 0,52822 = 0,47178.

Resposta

(a) P(X=0)=0,16807
(b) P(X=2)=0,30870
(c) P(X\ge2)=0,47178

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