Suponha que X tenha uma distribuição exponencial com média igual a 10. Determine o seguinte:
o valor de k tal que a probabilidade de X ser menor do que k é igual a 0,90 .

Passo 1

O enunciado diz que X é exponencial com média igual a 10. O conteúdo aqui é distribuição exponencial, cuja média é \frac{1}{\lambda}. Precisamos encontrar k tal que
P(X<k)=0,90.

Passo 2

Como X é exponencial com parâmetro \lambda, a função de distribuição acumulada é
F_X(x)=P(X<x)=1-e^{-\lambda x},\quad x\ge0.
A média E[X]=\frac{1}{\lambda} é dada como 10. Logo,
\frac{1}{\lambda}=10 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{1}{10}.

Passo 3

Queremos F_X(k)=0,90, ou seja,
1 - e^{-\lambda k}=0,90.
Isolando o termo exponencial:
e^{-\lambda k}=1-0,90=0,10.

Passo 4

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados e resolvendo para k:
-\lambda k = \ln(0,10) \quad\Longrightarrow\quad k = -\frac{\ln(0,10)}{\lambda}.

Passo 5

Substituindo \lambda=\tfrac{1}{10}:
k = -\ln(0,10)\;\bigl/\;\tfrac{1}{10} = -10\,\ln(0,10) =10\,\ln(10).
Em valor numérico,
k \approx 10\times2,302585093\approx23,03.

Resposta

k=10\ln(10)\approx23,03

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