Na manufatura de certo artigo, é sabido que 1 entre 10 artigos é defeituoso. Uma amostra de tamanho 4 é retirada com reposição, de um lote da produção. Qual a probabilidade de que a amostra contenha:
pelo menos 1 defeituoso?

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de um artigo ser defeituoso é \tfrac{1}{10} e que retiramos uma amostra de tamanho 4 com reposição. Queremos a probabilidade de que haja pelo menos um defeituoso. Para isso vamos usar a distribuição binomial e o cálculo de probabilidade complementar.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de artigos defeituosos na amostra. Como cada artigo tem probabilidade p=0,1 de ser defeituoso e fazemos n=4 retiradas independentes com reposição, temos
X\sim\mathrm{Bin}\bigl(n=4,p=0,1\bigr).

Passo 3

A probabilidade de “pelo menos 1 defeituoso” é o complementar da probabilidade de “nenhum defeituoso”. Logo,
P(X\ge1)=1-P(X=0).

Passo 4

Calculamos P(X=0) usando a fórmula da binomial:
P(X=0)=\binom{4}{0}(0,1)^{0}\,(0,9)^{4}=(0,9)^{4}.

Passo 5

Elevando 0,9 à quarta potência e fazendo o complemento, temos
(0,9)^{4}=0,6561 \quad\Longrightarrow\quad P(X\ge1)=1-0,6561=0,3439.

Resposta

A probabilidade de a amostra conter pelo menos um defeituoso é 0,3439.

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