O gerente de controle de qualidade de uma fábrica de lâmpadas precisa estimar a média aritmética da vida útil de uma grande empresa de remessa de lâmpadas. As especificações do fabricante afirmam que o desvio-padrão corresponde a 100 horas. Uma amostra aleatória contendo 64 lâmpadas indicou uma média aritmética de 350 horas para a vida útil.
b) Explique se o fabricante pode declarar que as lâmpadas apresentam uma média aritmética de vida útil que corresponde a 400 horas;
b) Explique se o fabricante pode declarar que as lâmpadas apresentam uma média aritmética de vida útil que corresponde a 400 horas;
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que precisamos para resolver.
Enunciado resumido: o fabricante diz que a vida média das lâmpadas é 400 h, mas uma amostra de 64 lâmpadas deu média de 350 h. O desvio‐padrão populacional é σ = 100 h. A pergunta é: “pode o fabricante afirmar que a vida média é 400 h?”
Matéria envolvida: inferência estatística – teste de hipóteses para média com σ conhecido (teste‐Z).
O que vamos usar:
• fórmula do estatístico de teste Z:
Enunciado resumido: o fabricante diz que a vida média das lâmpadas é 400 h, mas uma amostra de 64 lâmpadas deu média de 350 h. O desvio‐padrão populacional é σ = 100 h. A pergunta é: “pode o fabricante afirmar que a vida média é 400 h?”
Matéria envolvida: inferência estatística – teste de hipóteses para média com σ conhecido (teste‐Z).
O que vamos usar:
• fórmula do estatístico de teste Z:
• ideia de hipóteses nula e alternativa
• cálculo de p‐valor para tomar a decisão
• cálculo de p‐valor para tomar a decisão
Passo 2
Definindo as hipóteses de teste:
• Hipótese nula (H₀): a média é 400 h, ou seja, μ = 400.
• Hipótese alternativa (H₁): a média não é 400 h, ou seja, μ ≠ 400.
Explicando rápido: H₀ é a afirmação do fabricante que queremos testar, e H₁ é o “diferente de 400” (teste bicaudal), porque queremos saber se dá pra sustentar 400 h ou não.
• Hipótese nula (H₀): a média é 400 h, ou seja, μ = 400.
• Hipótese alternativa (H₁): a média não é 400 h, ou seja, μ ≠ 400.
Explicando rápido: H₀ é a afirmação do fabricante que queremos testar, e H₁ é o “diferente de 400” (teste bicaudal), porque queremos saber se dá pra sustentar 400 h ou não.
Passo 3
Vamos calcular o valor de Z usando a amostra:
• h (média amostral)
• μ₀ = 400 h (valor na H₀)
• σ = 100 h (desvio‐padrão conhecido)
• n = 64 (tamanho da amostra)
Então:
•
• μ₀ = 400 h (valor na H₀)
• σ = 100 h (desvio‐padrão conhecido)
• n = 64 (tamanho da amostra)
Então:
Esse Z = –4 indica que a média amostral está 4 desvios‐padrão abaixo do valor que o fabricante diz.
Passo 4
Agora a gente acha o p‐valor para esse Z no teste bicaudal.
• Para Z = –4, a cauda esquerda tem probabilidade ≈ 0,00003 (3 × 10⁻⁵).
• Como é bicaudal, fazemos p‐valor ≈ 2 × 0,00003 = 0,00006.
Esse p‐valor é super pequeno (muito menor que qualquer α típico, tipo 0,05).
• Para Z = –4, a cauda esquerda tem probabilidade ≈ 0,00003 (3 × 10⁻⁵).
• Como é bicaudal, fazemos p‐valor ≈ 2 × 0,00003 = 0,00006.
Esse p‐valor é super pequeno (muito menor que qualquer α típico, tipo 0,05).
Passo 5
Tomando a decisão:
• Se p‐valor < α (por exemplo, 0,05), a gente rejeita H₀.
Aqui 0,00006 < 0,05, então rejeitamos H₀ com folga.
Em outras palavras: os dados não batem com a média de 400 h que o fabricante afirma.
• Se p‐valor < α (por exemplo, 0,05), a gente rejeita H₀.
Aqui 0,00006 < 0,05, então rejeitamos H₀ com folga.
Em outras palavras: os dados não batem com a média de 400 h que o fabricante afirma.
Resposta
O fabricante não pode declarar que a vida média das lâmpadas é 400 horas, pois o teste estatístico rejeita essa hipótese com p‐valor ≈ 0,00006.