O gerente de controle de qualidade de uma fábrica de lâmpadas precisa estimar a média aritmética da vida útil de uma grande empresa de remessa de lâmpadas. As especificações do fabricante afirmam que o desvio-padrão corresponde a 100 horas. Uma amostra aleatória contendo 64 lâmpadas indicou uma média aritmética de 350 horas para a vida útil.
c) Explique se necessariamente, a vida útil das lâmpadas se distribui nos moldes da distribuição normal;
c) Explique se necessariamente, a vida útil das lâmpadas se distribui nos moldes da distribuição normal;
Passo 1
Blz, o enunciado pergunta, na parte ©, se “necessariamente a vida útil das lâmpadas se distribui como uma normal”. O assunto aqui é entender o que o Teorema Central do Limite (TCL) nos diz sobre a média amostral e o que ele NÃO diz sobre a distribuição individual dos dados. Vamos precisar lembrar:
- O que é distribuição de probabilidade de uma variável aleatória.
- O que é distribuição da média amostral (TCL).
Passo 2
Ok, manda ver na teoria:
-
Distribuição individual vs. distribuição da média
- A vida útil de cada lâmpada é uma variável aleatória qualquer, que pode ter uma curva de densidade X, Y, Z… a gente não sabe.
- O Teorema Central do Limite diz que, se você tirar muitas amostras de tamanho grande (geralmente
já vale), a distribuição das médias dessas amostras tende a ser normal, independente da forma da distribuição original.
-
O que o enunciado nos dá?
- Ele diz que a amostra de 64 lâmpadas (ou seja,
) teve média horas e que o desvio padrão populacional horas. - Pela TCL,
é aproximadamente normal com média (a média real) e desvio padrão .
- Ele diz que a amostra de 64 lâmpadas (ou seja,
-
Mas isso não obriga a vida útil individual a ser normal
- O TCL fala da distribuição de
, não da distribuição de (a vida útil de uma lâmpada só). - Você pode ter uma distribuição bem torta (assimétrica, com caudas “gordas” etc.) e ainda assim
ficar aproximadamente normal quando cresce.
- O TCL fala da distribuição de
Resposta
Não, não podemos garantir que a vida útil individual das lâmpadas seja normal. O Teorema Central do Limite só assegura que a média amostral tende a uma distribuição normal quando a amostra é grande, mas não impõe formato normal à distribuição original dos dados.