O gerente de controle de qualidade de uma fábrica de lâmpadas precisa estimar a média aritmética da vida útil de uma grande empresa de remessa de lâmpadas. As especificações do fabricante afirmam que o desvio-padrão corresponde a 100 horas. Uma amostra aleatória contendo 64 lâmpadas indicou uma média aritmética de 350 horas para a vida útil.
c) Explique se necessariamente, a vida útil das lâmpadas se distribui nos moldes da distribuição normal;

Passo 1

Blz, o enunciado pergunta, na parte ©, se “necessariamente a vida útil das lâmpadas se distribui como uma normal”. O assunto aqui é entender o que o Teorema Central do Limite (TCL) nos diz sobre a média amostral e o que ele NÃO diz sobre a distribuição individual dos dados. Vamos precisar lembrar:
  • O que é distribuição de probabilidade de uma variável aleatória.
  • O que é distribuição da média amostral (TCL).

Passo 2

Ok, manda ver na teoria:
  1. Distribuição individual vs. distribuição da média
    • A vida útil de cada lâmpada é uma variável aleatória qualquer, que pode ter uma curva de densidade X, Y, Z… a gente não sabe.
    • O Teorema Central do Limite diz que, se você tirar muitas amostras de tamanho grande (geralmente já vale), a distribuição das médias dessas amostras tende a ser normal, independente da forma da distribuição original.
  2. O que o enunciado nos dá?
    • Ele diz que a amostra de 64 lâmpadas (ou seja, ) teve média horas e que o desvio padrão populacional horas.
    • Pela TCL, é aproximadamente normal com média (a média real) e desvio padrão .
  3. Mas isso não obriga a vida útil individual a ser normal
    • O TCL fala da distribuição de , não da distribuição de (a vida útil de uma lâmpada só).
    • Você pode ter uma distribuição bem torta (assimétrica, com caudas “gordas” etc.) e ainda assim ficar aproximadamente normal quando cresce.

Resposta

Não, não podemos garantir que a vida útil individual das lâmpadas seja normal. O Teorema Central do Limite só assegura que a média amostral tende a uma distribuição normal quando a amostra é grande, mas não impõe formato normal à distribuição original dos dados.

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