Seja X e Y duas variáveis e para n pares de valores (x1, y1), ldots,(xn, yn) a medida da correlação entre as variáveis é dada por:
corr(X, Y)=sumi=1^n(xi-barx)(yi-bary)raizsumi=1^n(xi-barx)^2 sumi=1^n(yi-bary)^2
Oito indivíduos foram submetidos a um teste sobre conhecimento de língua estrangeira e, em seguida mediu-se o tempo gasto para cada um aprender a operar uma determinada máquina.
X : resultado obtido no teste(nota máxima de 100 pontos)
Y : tempo gasto para operar uma máquina.
Tabela 1: Distribuição conjunta das variáveis X e Y
Indivíduo l|l|l hline Indivíduo & $X$ & $Y$ hline 1 & 45 & 342 2 & 52 & 368 3 & 61 & 355 4 & 70 & 334 5 & 74 & 337 6 & 76 & 381 7 & 80 & 345 8 & 90 & 375 hline corr(X, Y)
1 45 342
2 52 368
3 61 355
4 70 334
5 74 337
6 76 381
7 80 345
8 90 375
Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, estamos trabalhando com estatística, mais especificamente com o cálculo da correlação entre duas variáveis: X (nota no teste de língua estrangeira) e Y (tempo gasto para operar uma máquina). Para isso, precisamos dos valores das duas variáveis para cada indivíduo e usar a fórmula da correlação que foi fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as médias de X e Y. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de indivíduos.
Para X:
barx = 45 + 52 + 61 + 70 + 74 + 76 + 80 + 908 = 5488 = 68.5
Para Y:
bary = 342 + 368 + 355 + 334 + 337 + 381 + 345 + 3758 = 28388 = 354.75

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença de cada valor de X e Y em relação às suas médias.
Para cada indivíduo:
(xi - barx) e (yi - bary)
Vamos fazer isso para todos os 8 indivíduos:
ccc Indivíduo & (xi - barx) & (yi - bary) 1 & 45 - 68.5 = -23.5 & 342 - 354.75 = -12.75 2 & 52 - 68.5 = -16.5 & 368 - 354.75 = 13.25 3 & 61 - 68.5 = -7.5 & 355 - 354.75 = 0.25 4 & 70 - 68.5 = 1.5 & 334 - 354.75 = -20.75 5 & 74 - 68.5 = 5.5 & 337 - 354.75 = -17.75 6 & 76 - 68.5 = 7.5 & 381 - 354.75 = 26.25 7 & 80 - 68.5 = 11.5 & 345 - 354.75 = -9.75 8 & 90 - 68.5 = 21.5 & 375 - 354.75 = 20.25 í

Passo 4

Em seguida, vamos multiplicar essas diferenças para cada indivíduo e somar todos esses produtos. Isso faz parte do numerador da fórmula da correlação.
sumi=1^8 (xi - barx)(yi - bary) = (-23.5)(-12.75) + (-16.5)(13.25) + (-7.5)(0.25) + (1.5)(-20.75) + (5.5)(-17.75) + (7.5)(26.25) + (11.5)(-9.75) + (21.5)(20.25)
Calculando:
= 299.625 + (-218.625) + (-1.875) + (-31.125) + (-97.625) + 196.875 + (-112.125) + 435.375
= 299.625 - 218.625 - 1.875 - 31.125 - 97.625 + 196.875 - 112.125 + 435.375
= 469.0

Passo 5

Agora, vamos calcular as somas dos quadrados das diferenças para X e para Y. Esses valores ficam no denominador da fórmula da correlação.
Para X:
sumi=1^8 (xi - barx)^2 = (-23.5)^2 + (-16.5)^2 + (-7.5)^2 + (1.5)^2 + (5.5)^2 + (7.5)^2 + (11.5)^2 + (21.5)^2
= 552.25 + 272.25 + 56.25 + 2.25 + 30.25 + 56.25 + 132.25 + 462.25
= 1514
Para Y:
sumi=1^8 (yi - bary)^2 = (-12.75)^2 + (13.25)^2 + (0.25)^2 + (-20.75)^2 + (-17.75)^2 + (26.25)^2 + (-9.75)^2 + (20.25)^2
= 162.5625 + 175.5625 + 0.0625 + 430.5625 + 315.0625 + 689.0625 + 95.0625 + 410.0625
= 2277.5

Passo 6

Finalmente, vamos aplicar a fórmula da correlação usando os valores que calculamos:
corr(X, Y) = sumi=1^8 (xi - barx)(yi - bary)raizsumi=1^8 (xi - barx)^2 sumi=1^8 (yi - bary)^2 = 469raiz1514 times 2277.5
Calculando o denominador:
raiz1514 times 2277.5 = raiz3445145 approx 1855.93
Então:
corr(X, Y) = 4691855.93 approx 0.252

Resposta

A correlação entre X e Y é aproximadamente 0,252.

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