O gerente de uma empresa observa que, t meses após começar a fabricação de um novo produto, serão fabricadas P milhares de unidades, em que
P(t)=6 t^2+5 t(t+1)^2
O que acontecerá com a produção a longo prazo?

Passo 1

Temos a função de produção em milhares de unidades dada por
P(t)=6t^2+5t(t+1)^2
O conteúdo aqui é o estudo de limite de uma função racional quando ttoinfty. Vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pelo maior grau de t.

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por t^2 obtemos
P(t)=6+5t1+2t+1t^2
Isso é uma forma padrão que facilita ver o comportamento quando t cresce sem limite.

Passo 3

Quando ttoinfty, os termos 5t, 2t e 1t^2 tendem a zero. Logo,
limttoinftyP(t)=6+01+0+0=6
Aqui usamos a propriedade de que em funções racionais o limite no infinito é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 4

Interpretando o resultado no contexto do problema, como P(t) está em milhares, significa que a produção se estabiliza em 6 mil unidades por mês a longo prazo.

Resposta

A produção tenderá a 6 mil unidades ( P(t)to6 milhares) por mês a longo prazo.

Exercícios relacionados