Determine se as funções abaixo possuem assíntotas verticais ou horizontais. Em caso positivo, obtenha as expressões para as assíntotas.
f(x)=x^2-9x^2+3 x

Passo 1

O enunciado pede pra gente descobrir se a função
f(x)=x^2-9x^2+3x
possui assíntotas verticais ou horizontais. O conteúdo é limites e assíntotas de funções racionais. Vamos precisar do domínio da função, de fatoração pra simplificar, e de limites laterais e em infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio e fatorar numerador e denominador. Temos
x^2-9=(x-3)(x+3)
x^2+3x=x(x+3)
Então
f(x)=(x-3)(x+3)x(x+3)
Para todo xneq -3 podemos cancelar o (x+3) e escrever
f(x)=x-3x, xneq -3,,xneq 0
O domínio original exclui x=-3 e x=0.

Passo 3

Agora, para assíntotas verticais, olhamos os pontos em que o denominador original é zero e que não foram totalmente cancelados. Aqui temos x=-3 (cancelado) e x=0 (não cancelado). No ponto x=-3 a função simplificada fica finita (buraco removível), então não há assíntota. Em x=0 avaliamos o limite lateral:
limxto 0^+x-3x=-infty, limxto 0^-x-3x=+infty
Como o valor explode em infinito, existe assíntota vertical em x=0.

Passo 4

Para assíntota horizontal, calculamos o limite quando xtopminfty. Como f(x) é racional de mesmo grau no numerador e denominador, a assíntota é a razão dos coeficientes líderes:
limxtopminftyf(x)=11=1
Logo a assíntota horizontal é y=1.

Resposta

Vertical: x=0
Horizontal: y=1

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