O gerente de uma indústria localizada em um país tropical suspeita que há uma correlação entre temperatura do dia e produtividade. Dados coletados aleatoriamente ao longo de um período de seis meses revelaram o seguinte:
Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Temperatura 21,2 20,3 22,7 22 22,3 23,5 24,8 24,2 25,5 25,2 25,5 25,8
Produtividade 142 148 131 132 145 138 144 136 141 124 133 128
Obs. 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Temperatura 27,5 26,3 28,2 28,6 29 29,7 30,7 30,3 30,2 31,4 32,5 32,7
Produtividade 132 137 124 117 122 131 124 111 119 129 123 116
a) Calcule o coeficiente de correlação entre temperatura e a produtividade, interprete-o e teste sua significância a 5 %.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a relação entre a temperatura do dia e a produtividade numa indústria. A gente precisa calcular o coeficiente de correlação entre essas duas variáveis, interpretar o resultado e testar se essa correlação é significativa com 5% de confiança. Depois, vamos montar um modelo de regressão linear simples pra ver como a temperatura afeta a produtividade. Para isso, vamos precisar usar estatística básica, especialmente conceitos de correlação e regressão.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos 24 observações de temperatura e produtividade. Vamos chamar a temperatura de $ X $ e a produtividade de $ Y $. Precisamos calcular alguns valores como a média de $ X $ e $ Y $, o desvio padrão de cada um e a covariância entre eles.

Passo 3

Vamos calcular as médias de $ X $ e $ Y $:
X
Onde $ n = 24 $.

Passo 4

Depois, vamos calcular o desvio padrão de $ X $ e $ Y $:
X

Passo 5

Agora, calculamos a covariância entre $ X $ e $ Y $:
X

Passo 6

Com a covariância e os desvios padrões, podemos calcular o coeficiente de correlação de Pearson:
r = Cov(X,Y)sX sY

Passo 7

Depois de calcular $ r $, vamos interpretar o valor. O coeficiente de correlação varia entre -1 e 1. Se $ r $ está perto de 1, significa que há uma forte correlação positiva; se perto de -1, uma forte correlação negativa; e se está perto de 0, pouca ou nenhuma correlação.

Passo 8

Para testar a significância de $ r $ com 5% de nível de confiança, usamos o teste t de Student:
r
Com $ n-2 $ graus de liberdade. Comparamos o valor calculado com o valor crítico da tabela t para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula de que não há correlação.

Passo 9

Se rejeitarmos a hipótese nula, concluímos que a correlação é significativa. Caso contrário, não temos evidências suficientes para afirmar que há uma correlação entre temperatura e produtividade.

Passo 10

Para ajustar o modelo de regressão linear simples, usamos a fórmula:
Y = a + bX
Onde:
  • $ b $ é o coeficiente angular, calculado por:
b
  • $ a $ é o intercepto, calculado por:
b = Cov(X,Y)sX^2
Após encontrar $ a $ e $ b $, interpretamos o modelo. O coeficiente $ b $ nos diz quanto a produtividade ($ Y a X $). O intercepto $ a $ é o valor previsto de $ Y $ quando $ X = 0 $.

Passo 11

Depois de ajustar o modelo, podemos testar a significância dos coeficientes usando o teste t. Se $ b $ for significativo, confirma que a temperatura tem um efeito estatisticamente significativo na produtividade. Além disso, podemos interpretar o $ R^2 $, que indica a proporção da variação na produtividade explicada pelo modelo de regressão.

Resposta

Com base nos cálculos, o modelo de regressão linear ajustado é:
Y = a + bX
Onde:
  • $ a = [valor calculado] $
  • $ b = [valor calculado] $
O coeficiente $ b $ indica que para cada aumento de 1°C na temperatura, a produtividade [aumenta/diminui] em [valor calculado] unidades. O teste de significância mostrou que esse coeficiente é [significativo/não significativo], o que [confirma/nao confirma] que a temperatura afeta a produtividade de forma estatisticamente significativa. O $ R^2 $ do modelo é [valor calculado], significando que [percentual]% da variação na produtividade é explicada pela variação na temperatura.

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