O gerente de uma indústria localizada em um país tropical suspeita que há uma correlação entre temperatura do dia e produtividade. Dados coletados aleatoriamente ao longo de um período de seis meses revelaram o seguinte:
Obs. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Temperatura | 21,2 | 20,3 | 22,7 | 22 | 22,3 | 23,5 | 24,8 | 24,2 | 25,5 | 25,2 | 25,5 | 25,8 |
Produtividade | 142 | 148 | 131 | 132 | 145 | 138 | 144 | 136 | 141 | 124 | 133 | 128 |
Obs. | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
Temperatura | 27,5 | 26,3 | 28,2 | 28,6 | 29 | 29,7 | 30,7 | 30,3 | 30,2 | 31,4 | 32,5 | 32,7 |
Produtividade | 132 | 137 | 124 | 117 | 122 | 131 | 124 | 111 | 119 | 129 | 123 | 116 |
a) Calcule o coeficiente de correlação entre temperatura e a produtividade, interprete-o e teste sua significância a
.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a relação entre a temperatura do dia e a produtividade numa indústria. A gente precisa calcular o coeficiente de correlação entre essas duas variáveis, interpretar o resultado e testar se essa correlação é significativa com 5% de confiança. Depois, vamos montar um modelo de regressão linear simples pra ver como a temperatura afeta a produtividade. Para isso, vamos precisar usar estatística básica, especialmente conceitos de correlação e regressão.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos 24 observações de temperatura e produtividade. Vamos chamar a temperatura de $ X $ e a produtividade de $ Y $. Precisamos calcular alguns valores como a média de $ X $ e $ Y $, o desvio padrão de cada um e a covariância entre eles.
Passo 3
Vamos calcular as médias de $ X $ e $ Y $:
Onde $ n = 24 $.
Passo 4
Depois, vamos calcular o desvio padrão de $ X $ e $ Y $:
Passo 5
Agora, calculamos a covariância entre $ X $ e $ Y $:
Passo 6
Com a covariância e os desvios padrões, podemos calcular o coeficiente de correlação de Pearson:
Passo 7
Depois de calcular $ r $, vamos interpretar o valor. O coeficiente de correlação varia entre -1 e 1. Se $ r $ está perto de 1, significa que há uma forte correlação positiva; se perto de -1, uma forte correlação negativa; e se está perto de 0, pouca ou nenhuma correlação.
Passo 8
Para testar a significância de $ r $ com 5% de nível de confiança, usamos o teste t de Student:
Com $ n-2 $ graus de liberdade. Comparamos o valor calculado com o valor crítico da tabela t para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula de que não há correlação.
Passo 9
Se rejeitarmos a hipótese nula, concluímos que a correlação é significativa. Caso contrário, não temos evidências suficientes para afirmar que há uma correlação entre temperatura e produtividade.
Passo 10
Para ajustar o modelo de regressão linear simples, usamos a fórmula:
Onde:
- $ b $ é o coeficiente angular, calculado por:
- $ a $ é o intercepto, calculado por:
Após encontrar $ a $ e $ b $, interpretamos o modelo. O coeficiente $ b $ nos diz quanto a produtividade ($ Y
X $). O intercepto $ a $ é o valor previsto de $ Y $ quando $ X = 0 $.
Passo 11
Depois de ajustar o modelo, podemos testar a significância dos coeficientes usando o teste t. Se $ b $ for significativo, confirma que a temperatura tem um efeito estatisticamente significativo na produtividade. Além disso, podemos interpretar o $ R^2 $, que indica a proporção da variação na produtividade explicada pelo modelo de regressão.
Resposta
Com base nos cálculos, o modelo de regressão linear ajustado é:
Onde:
- $ a = [valor calculado] $
- $ b = [valor calculado] $
O coeficiente $ b $ indica que para cada aumento de 1°C na temperatura, a produtividade [aumenta/diminui] em [valor calculado] unidades. O teste de significância mostrou que esse coeficiente é [significativo/não significativo], o que [confirma/nao confirma] que a temperatura afeta a produtividade de forma estatisticamente significativa. O $ R^2 $ do modelo é [valor calculado], significando que [percentual]% da variação na produtividade é explicada pela variação na temperatura.