Em uma inspeção automatizada, x_{1} é o número de módulos de visão computacional e x_{2} é um agregado de insumos diversos. O desempenho é quase-linear:
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=\ln \left(x_{1}\right)+x_{2},
\operatorname{com} p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}=m. A gerência quer entender a sensibilidade da demanda por x_{1} ao seu próprio preço.
(a) Encontre x_{1}^{M} e x_{2}^{M} a partir da maximização de utilidade.
(b) Calcule a elasticidade-preço própria \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}} e comente sua (in)dependência de m.
(c) Interprete o resultado para políticas de preços e orçamento.
(d) Represente graficamente a curva de demanda de x_{1} e a variação de p_{1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados do problema (pegos do enunciado):
    • A utilidade é \displaystyle U(x_{1},x_{2})=\ln\!\left(x_{1}\right)+x_{2}.
    • A restrição orçamentária é \displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m.
    • As variáveis de escolha são x_{1} (módulos de visão) e x_{2} (outros insumos).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Encontrar x_{1}^{M} e x_{2}^{M} que maximizam a utilidade sujeita à restrição orçamentária (ou seja, as demandas Marshallianas).
    (b) Calcular a elasticidade-preço própria de x_{1}, \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}, e comentar se depende ou não de m.
    (c) Interpretar o resultado para políticas de preços e orçamento (ou seja, consequências práticas).
    (d) Representar graficamente a curva de demanda de x_{1} e explicar o efeito de variações de p_{1}.

Passo 2

Transformar o problema numa função de uma variável (substituição) e escrever a função objetivo. Explico a ideia: a restrição orçamentária permite escrever x_{2} em função de x_{1} e eliminar x_{2}, reduzindo o problema à maximização de uma função de uma só variável — método direto e simples aqui.
  • Da restrição orçamentária:
    p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{m-p_{1}x_{1}}{p_{2}}.
    Observação: isso assume p_{2}>0. Economicamente, x_{2} deve ser não-negativo; veremos a condição de viabilidade mais adiante.
  • Substituindo em U:
    U(x_{1})=\ln\!\left(x_{1}\right)+\frac{m-p_{1}x_{1}}{p_{2}}.
    Agora o problema é escolher x_{1}>0 para maximizar essa função.

Passo 3

Calcular a primeira ordem necessária (derivada) e achar o candidato interior de máximo. Também explico o porquê: condições de primeira ordem para um máximo interior são derivada nula e derivada segunda negativa.
  • Derivada de U(x_{1}) em relação a x_{1}:
    \frac{dU}{dx_{1}}=\frac{d}{dx_{1}}\ln\!\left(x_{1}\right)+\frac{d}{dx_{1}}\left(-\frac{p_{1}x_{1}}{p_{2}}\right) =\frac{1}{x_{1}}-\frac{p_{1}}{p_{2}}.
    Explicação das derivadas: \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x} é uma derivada padrão; e -\frac{p_{1}x_{1}}{p_{2}} é linear em x_{1} com coeficiente -\frac{p_{1}}{p_{2}}.
  • Igualando a zero para a condição de primeiro ordem:
    \frac{1}{x_{1}}-\frac{p_{1}}{p_{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x_{1}}=\frac{p_{1}}{p_{2}} \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{p_{2}}{p_{1}}.
    Este é o candidato a solução interior \displaystyle x_{1}^{M}=\frac{p_{2}}{p_{1}}.
  • Verificação rápida da segunda derivada (para garantir máximo):
    \frac{d^{2}U}{dx_{1}^{2}}=-\frac{1}{x_{1}^{2}}<0
    para x_{1}>0, logo a solução encontrada é de fato um máximo local (e global neste caso, pela concavidade da utilidade em x_{1}).
Também dou a intuição microeconômica por trás dessa equação: a condição de ótimo interior é igualar a utilidade marginal por unidade monetária gasto em cada bem. A utilidade marginal de x_{1} é \mathrm{MU}_{1}=\frac{1}{x_{1}} e de x_{2} é \mathrm{MU}_{2}=1. Igualando \mathrm{MU}_{1}/p_{1}=\mathrm{MU}_{2}/p_{2} obtemos \frac{1}{p_{1}x_{1}}=\frac{1}{p_{2}}, que leva a x_{1}=p_{2}/p_{1}. Isto é uma forma intuitiva e rápida de ver o mesmo resultado.

Passo 4

Determinar x_{2}^{M} usando a restrição orçamentária e discutir viabilidade (condição sobre m). Explico passo a passo como obter e interpretar.
  • Substituindo \displaystyle x_{1}^{M}=\frac{p_{2}}{p_{1}} na restrição:
    p_{1}\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)+p_{2}x_{2}=m \quad\Rightarrow\quad p_{2}+p_{2}x_{2}=m \quad\Rightarrow\quad p_{2}x_{2}=m-p_{2}.
    Assim
    x_{2}^{M}=\frac{m-p_{2}}{p_{2}}=\frac{m}{p_{2}}-1.
  • Condição de viabilidade interior: para que x_{2}^{M}\ge 0 (solução interior válida), é necessário que m-p_{2}\ge 0, ou seja
    m\ge p_{2}.
    Explicação: se o consumidor não tem renda suficiente para comprar pelo menos uma unidade “efetiva” do agregado x_{2} no sentido da solução, a solução interior falha e temos um canto de solução.
  • Caso de canto (se m<p_{2}): então x_{2} não pode ser igual a \frac{m-p_{2}}{p_{2}} porque seria negativo. Nesse caso o consumidor esgota o orçamento comprando somente x_{1} (supondo x_{1}>0 desejável). Com x_{2}=0 a restrição dá p_{1}x_{1}=m, então
    x_{1}=\frac{m}{p_{1}} \quad\text{(canto: \(x_{2}=0\)).}
    Nota: mesmo neste canto, a demanda por x_{1} é uma hipérbole simples em p_{1}.

Passo 5

Calcular a elasticidade-preço própria de x_{1} relativamente a p_{1} e discutir dependência de m. Vou escrever a definição e aplicar ao caso interior e ao canto.
  • Definição: a elasticidade-preço própria é
    \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}=\frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}}\cdot\frac{p_{1}}{x_{1}}.
  • Caso interior ( m\ge p_{2}): com \displaystyle x_{1}=\frac{p_{2}}{p_{1}} temos
    \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}}=-\frac{p_{2}}{p_{1}^{2}}.
    Então
    \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}=\left(-\frac{p_{2}}{p_{1}^{2}}\right)\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}/p_{1}} =\left(-\frac{p_{2}}{p_{1}^{2}}\right)\cdot\frac{p_{1}^{2}}{p_{2}}=-1.
    Portanto a elasticidade própria é -1.
  • Caso canto ( m<p_{2}): com \displaystyle x_{1}=\frac{m}{p_{1}} temos
    \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}}=-\frac{m}{p_{1}^{2}}, \quad \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}=\left(-\frac{m}{p_{1}^{2}}\right)\cdot\frac{p_{1}}{m/p_{1}} =-1.
    Surpresa conveniente: também dá -1.
  • Conclusão sobre dependência de m: em ambos os casos a elasticidade-preço própria de x_{1} em relação a p_{1} é -1, portanto independente de m. Observação adicional: embora a elasticidade seja numericamente -1 sempre, a quantidade demandada em regime interior não depende de m \frac{p_{2}}{p_{1}}), enquanto no canto a quantidade depende de m \frac{m}{p_{1}}). Em qualquer dos casos, a sensibilidade percentual de x_{1} a uma variação percentual de p_{1} é unitária (variação percentual igual e de sinal oposto).

Passo 6

Interpretação econômica (políticas de preços e orçamento). Vou traduzir o resultado técnico para recomendações práticas e intuição.
  • Efeito de uma alteração em p_{1}:
    • Elasticidade -1 (unitária) significa que um aumento de 1\% em p_{1} reduz x_{1} em 1\%. Em termos percentuais, quantidade e preço se movem de forma inversamente proporcional.
    • No caso interior, gasto do consumidor com x_{1} é p_{1}x_{1}=p_{1}\cdot\frac{p_{2}}{p_{1}}=p_{2},ou seja, o consumidor gasta sempre exatamente p_{2} em x_{1}, independentemente de p_{1} e m. Isso é uma propriedade da utilidade quasi-lineares com essa forma particular: a despesa em x_{1} é fixa (igual a p_{2}) no ótimo interior.
    • Consequência para um vendedor: aumentar p_{1} não altera a despesa do consumidor com x_{1} (ela permanece p_{2} por consumidor na solução interior), logo a receita do vendedor por consumidor não muda (do ponto de vista deste consumidor); vender mais ou menos unidades depende de centenas de consumidores e da heterogeneidade deles, mas para este tipo de preferência o efeito marginal é neutralizado.
  • Efeito de uma alteração em m (renda/orçamento):
    • No regime interior, x_{1}^{M}=\frac{p_{2}}{p_{1}} não depende de m: um aumento de renda não altera a demanda por x_{1}. Isso é típico de utilidade quasi-linear: bens lineares no agregado x_{2} fazem com que a demanda pelo bem não-linear seja independente da renda, desde que a solução interior permaneça viável.
    • Portanto políticas que aumentem m (subvenções ou aumento de renda) não alteram a compra de x_{1} se o consumidor já estiver na região interior; para afetar x_{1} é mais eficaz alterar p_{1} ou p_{2} ou alterar a utilidade marginal (mudança de preferência).
  • Recomendações resumidas:
    • Para reduzir consumo de x_{1} proporcionalmente, aumentar p_{1} funciona (quantidade cai proporcionalmente), mas o gasto total do consumidor com x_{1} permanece inalterado no regime interior.
    • Para aumentar consumo de x_{1}, aumentar m não funciona no interior; reduzir p_{1} ou aumentar p_{2} (tornando x_{1} relativo mais atraente) é o caminho.

Passo 7

Como desenhar o gráfico da demanda de x_{1} e interpretar movimentos quando p_{1} varia. Vou explicar passo a passo como traçar e o que observar.
  • Equação da curva de demanda (interior): desenhar x_{1} no eixo vertical e p_{1} no eixo horizontal; a demanda é
    x_{1}=\frac{p_{2}}{p_{1}}.
    Esta é uma hipérbole retangular: quando p_{1}\downarrow 0, x_{1}\to +\infty; quando p_{1}\to +\infty, x_{1}\to 0. Se quiser um ponto de referência, quando p_{1}=p_{2} tem-se x_{1}=1.
  • Movimento ao longo da curva: uma variação de p_{1} gera um movimento ao longo dessa curva (não um deslocamento). A direção do movimento é tal que x_{1} muda inversamente a p_{1}. A elasticidade constante -1 significa que a curva é tal que a relação percentual é linear em log-log com inclinação -1.
  • Efeito de mudança em parâmetros:
    • Alteração de p_{2} desloca a curva: p_{2}\uparrow desloca a curva para cima (maior x_{1} para cada p_{1}), pois x_{1}=p_{2}/p_{1}.
    • Alteração de m não desloca a curva no interior (demanda independente de m), mas se m ficar pequeno o consumidor pode entrar no canto, onde a demanda passa a ser x_{1}=m/p_{1} (outra hipérbole com parâmetro m). No gráfico, isso aparece como uma região onde a curva efetiva é limitada pela linha do canto; o ponto de transição ocorre aproximadamente quando m=p_{2}.
  • Instruções rápidas para desenhar: traçar algumas pares (p_{1},x_{1}), por exemplo (p_{1}=p_{2},x_{1}=1), (p_{1}=p_{2}/2,x_{1}=2), (p_{1}=2p_{2},x_{1}=1/2) e ligar suavemente para formar a hipérbole. Marcar a área onde m<p_{2} e desenhar a curva x_{1}=m/p_{1} como limite inferior nesse caso.

Resposta

(a) \displaystyle x_{1}^{M}=\frac{p_{2}}{p_{1}},\quad x_{2}^{M}=\frac{m}{p_{2}}-1 (válido para m\ge p_{2}; se m<p_{2} o ótimo é de canto com x_{2}=0 e x_{1}=\dfrac{m}{p_{1}}).
(b) \displaystyle \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}=-1 (independente de m).
(c) Interpretação: elasticidade unitária implica que uma variação percentual em p_{1} provoca variação percentual oposta igual em x_{1}; no regime interior o gasto do consumidor em x_{1} é constante e igual a p_{2}, e aumentos de renda m não alteram x_{1}. Para alterar quantitativamente x_{1} é mais eficaz mexer em p_{1} ou p_{2} (ou nas preferências).
(d) Curva de demanda: x_{1}=\dfrac{p_{2}}{p_{1}} (hipérbole retangular). Variação de p_{1} produz movimento ao longo dessa curva (percentual de variação de x_{1} igual e de sinal contrário ao de p_{1}); variação de p_{2} desloca a curva verticalmente; variação de m não a desloca no regime interior, mas pode levar ao canto ( x_{1}=m/p_{1}) se m<p_{2}.

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