Em uma inspeção automatizada,
é o número de módulos de visão computacional e
é um agregado de insumos diversos. O desempenho é quase-linear:
. A gerência quer entender a sensibilidade da demanda por
ao seu próprio preço.
(a) Encontre
e
a partir da maximização de utilidade.
(b) Calcule a elasticidade-preço própria
e comente sua (in)dependência de
.
(c) Interprete o resultado para políticas de preços e orçamento.
(d) Represente graficamente a curva de demanda de
e a variação de
.
(a) Encontre
(b) Calcule a elasticidade-preço própria
(c) Interprete o resultado para políticas de preços e orçamento.
(d) Represente graficamente a curva de demanda de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Dados do problema (pegos do enunciado):
- A utilidade é
. - A restrição orçamentária é
. - As variáveis de escolha são
(módulos de visão) e (outros insumos).
- A utilidade é
- O que o enunciado pede:
(a) Encontrare que maximizam a utilidade sujeita à restrição orçamentária (ou seja, as demandas Marshallianas).
(b) Calcular a elasticidade-preço própria de, , e comentar se depende ou não de .
(c) Interpretar o resultado para políticas de preços e orçamento (ou seja, consequências práticas).
(d) Representar graficamente a curva de demanda dee explicar o efeito de variações de .
Passo 2
Transformar o problema numa função de uma variável (substituição) e escrever a função objetivo. Explico a ideia: a restrição orçamentária permite escrever
em função de
e eliminar
, reduzindo o problema à maximização de uma função de uma só variável — método direto e simples aqui.
-
Da restrição orçamentária:Observação: isso assume
. Economicamente, deve ser não-negativo; veremos a condição de viabilidade mais adiante. -
Substituindo em
: Agora o problema é escolherpara maximizar essa função.
Passo 3
Calcular a primeira ordem necessária (derivada) e achar o candidato interior de máximo. Também explico o porquê: condições de primeira ordem para um máximo interior são derivada nula e derivada segunda negativa.
-
Derivada de
em relação a : Explicação das derivadas:é uma derivada padrão; e é linear em com coeficiente . -
Igualando a zero para a condição de primeiro ordem:Este é o candidato a solução interior
. -
Verificação rápida da segunda derivada (para garantir máximo):para
, logo a solução encontrada é de fato um máximo local (e global neste caso, pela concavidade da utilidade em ).
Também dou a intuição microeconômica por trás dessa equação: a condição de ótimo interior é igualar a utilidade marginal por unidade monetária gasto em cada bem. A utilidade marginal de
é
e de
é
. Igualando
obtemos
, que leva a
. Isto é uma forma intuitiva e rápida de ver o mesmo resultado.
Passo 4
Determinar
usando a restrição orçamentária e discutir viabilidade (condição sobre
). Explico passo a passo como obter e interpretar.
-
Substituindo
na restrição: Assim -
Condição de viabilidade interior: para que
(solução interior válida), é necessário que , ou seja Explicação: se o consumidor não tem renda suficiente para comprar pelo menos uma unidade “efetiva” do agregadono sentido da solução, a solução interior falha e temos um canto de solução. -
Caso de canto (se
): então não pode ser igual a porque seria negativo. Nesse caso o consumidor esgota o orçamento comprando somente (supondo desejável). Com a restrição dá , então Nota: mesmo neste canto, a demanda poré uma hipérbole simples em .
Passo 5
Calcular a elasticidade-preço própria de
relativamente a
e discutir dependência de
. Vou escrever a definição e aplicar ao caso interior e ao canto.
-
Definição: a elasticidade-preço própria é
-
Caso interior (
): com temos EntãoPortanto a elasticidade própria é. -
Caso canto (
): com temos Surpresa conveniente: também dá. -
Conclusão sobre dependência de
: em ambos os casos a elasticidade-preço própria de em relação a é , portanto independente de . Observação adicional: embora a elasticidade seja numericamente sempre, a quantidade demandada em regime interior não depende de (é ), enquanto no canto a quantidade depende de (é ). Em qualquer dos casos, a sensibilidade percentual de a uma variação percentual de é unitária (variação percentual igual e de sinal oposto).
Passo 6
Interpretação econômica (políticas de preços e orçamento). Vou traduzir o resultado técnico para recomendações práticas e intuição.
-
Efeito de uma alteração em
: - Elasticidade
(unitária) significa que um aumento de em reduz em . Em termos percentuais, quantidade e preço se movem de forma inversamente proporcional. - No caso interior, gasto do consumidor com
é ou seja, o consumidor gasta sempre exatamente em , independentemente de e . Isso é uma propriedade da utilidade quasi-lineares com essa forma particular: a despesa em é fixa (igual a ) no ótimo interior. - Consequência para um vendedor: aumentar
não altera a despesa do consumidor com (ela permanece por consumidor na solução interior), logo a receita do vendedor por consumidor não muda (do ponto de vista deste consumidor); vender mais ou menos unidades depende de centenas de consumidores e da heterogeneidade deles, mas para este tipo de preferência o efeito marginal é neutralizado.
- Elasticidade
-
Efeito de uma alteração em
(renda/orçamento): - No regime interior,
não depende de : um aumento de renda não altera a demanda por . Isso é típico de utilidade quasi-linear: bens lineares no agregado fazem com que a demanda pelo bem não-linear seja independente da renda, desde que a solução interior permaneça viável. - Portanto políticas que aumentem
(subvenções ou aumento de renda) não alteram a compra de se o consumidor já estiver na região interior; para afetar é mais eficaz alterar ou ou alterar a utilidade marginal (mudança de preferência).
- No regime interior,
-
Recomendações resumidas:
- Para reduzir consumo de
proporcionalmente, aumentar funciona (quantidade cai proporcionalmente), mas o gasto total do consumidor com permanece inalterado no regime interior. - Para aumentar consumo de
, aumentar não funciona no interior; reduzir ou aumentar (tornando relativo mais atraente) é o caminho.
- Para reduzir consumo de
Passo 7
Como desenhar o gráfico da demanda de
e interpretar movimentos quando
varia. Vou explicar passo a passo como traçar e o que observar.
-
Equação da curva de demanda (interior): desenhar
no eixo vertical e no eixo horizontal; a demanda é Esta é uma hipérbole retangular: quando, ; quando , . Se quiser um ponto de referência, quando tem-se . -
Movimento ao longo da curva: uma variação de
gera um movimento ao longo dessa curva (não um deslocamento). A direção do movimento é tal que muda inversamente a . A elasticidade constante significa que a curva é tal que a relação percentual é linear em log-log com inclinação . -
Efeito de mudança em parâmetros:
- Alteração de
desloca a curva: desloca a curva para cima (maior para cada ), pois . - Alteração de
não desloca a curva no interior (demanda independente de ), mas se ficar pequeno o consumidor pode entrar no canto, onde a demanda passa a ser (outra hipérbole com parâmetro ). No gráfico, isso aparece como uma região onde a curva efetiva é limitada pela linha do canto; o ponto de transição ocorre aproximadamente quando .
- Alteração de
-
Instruções rápidas para desenhar: traçar algumas pares
, por exemplo , , e ligar suavemente para formar a hipérbole. Marcar a área onde e desenhar a curva como limite inferior nesse caso.
Resposta
(a)
(válido para
; se
o ótimo é de canto com
e
).
(b) (independente de
).
(c) Interpretação: elasticidade unitária implica que uma variação percentual em provoca variação percentual oposta igual em
; no regime interior o gasto do consumidor em
é constante e igual a
, e aumentos de renda
não alteram
. Para alterar quantitativamente
é mais eficaz mexer em
ou
(ou nas preferências).
(d) Curva de demanda: (hipérbole retangular). Variação de
produz movimento ao longo dessa curva (percentual de variação de
igual e de sinal contrário ao de
); variação de
desloca a curva verticalmente; variação de
não a desloca no regime interior, mas pode levar ao canto (
) se
.
(b)
(c) Interpretação: elasticidade unitária implica que uma variação percentual em
(d) Curva de demanda: