O gerente de uma sapataria observa que o preço p (em reais) de um par de sapatos de uma marca popular varia a uma taxa de dpdx=-300 xraiz(x^2+9)^3 quando x centenas de centenas de pares são demandados (comprados), pelos consumidores. Quando o preço do par é R pares pares são demandados pelos consumidores.
Determine a função de demanda são demandados pelos consumidores Determine a função de demanda .

Passo 1

Estamos lidando com uma função demanda p(x) cujo coeficiente de variação (derivada p'(x)) é dado, e precisamos recuperar p(x) por integração. O conteúdo é “integração de taxa de variação” e vamos usar substituição para integrar p'(x) = dpdx = -300,x,(x^2+9)^-3/2.

Passo 2

Escrevemos a integral para encontrar p(x):
p(x) = integral p'(x),dx = integral -300,x,(x^2+9)^-3/2 ,dx

Passo 3

Aplicamos a substituição u = x^2 + 9, então du = 2x,dx, ou seja x,dx = tfrac12du. A integral fica:
p(x) = -300 integral x,(x^2+9)^-3/2 ,dx = -300 integral (x,dx),u^-3/2 = -300 cdot 12 integral u^-3/2 ,du = -150 integral u^-3/2 ,du

Passo 4

Agora integramos u^-3/2. Sabemos que integral u^n,du = u^n+1n+1 para nneq -1. Aqui n=-tfrac32, então
integral u^-3/2 ,du = u^-1/2-1/2 = -2,u^-1/2

Passo 5

Substituindo de volta em p(x):
p(x) = -150 l(-2,u^-1/2r) + C = 300,u^-1/2 + C = 300raizx^2+9 + C

Passo 6

Usamos a condição inicial: quando x=4 (isto é, 400 pares), p=75. Substituindo:
75 = 300raiz4^2+9 + C = 3005 + C = 60 + C,

Passo 7

Logo C = 75 - 60 = 15. Assim obtemos a função demanda final.

Resposta

p(x)=300raizx^2+9 + 15

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