Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente tem a equação:
12 dydx = raizy + 1 cos x, y(pi) = 0
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial ordinária do primeiro grau e precisamos encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz essa equação e a condição inicial $ y(\pi) = 0 $. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a derivada $ \frac{dy}{dx} $. Multiplicando ambos os lados por 2, temos:
dydx
Agora, nossa equação está na forma $ \frac{dy}{dx} = f(y)g(x) $, o que é perfeito para usar a separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os termos com $ x $ fiquem do outro.

Passo 3

Vamos separar as variáveis:
dyraizy + 1 = 2 cos x , dx
Aqui, dividimos ambos os lados por $ \sqrt{y + 1} $ e multiplicamos por $ dx $ para isolar $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro. Agora, temos uma expressão onde podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
integral dyraizy + 1 = 2 integral cos x , dx
Para resolver a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição $ u = y + 1 $, então $ du = dy $. A integral fica:
u = y + 1
No lado direito, a integral de $ 2 \cos x $ em relação a $ x $ é:
du = dy
Portanto, após integrar ambos os lados, temos:
integral 1raizu du = 2 raizu + C = 2 raizy + 1 + C

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação para resolver $ y $. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por 2:
y
Vamos simplificar a constante substituindo $ \frac{C}{2} $ por uma nova constante $ K $:
raizy + 1 = sin x + C2
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
C2
Então, isolando $ y $:
K

Passo 6

Precisamos determinar o valor da constante $ K $ usando a condição inicial $ y(\pi) = 0 $. Vamos substituir $ x = \pi $ e $ y = 0 $ na equação:
K
Sabemos que $ \sin \pi = 0 $, então:
y(pi) = 0
Vamos considerar $ K = 1 $ para simplificar, já que a constante pode absorver o sinal.

Passo 7

Substituindo $ K = 1 $ na equação para $ y $:
K = 1
Podemos expandir essa expressão:
y

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = sin^2 x + 2 sin x

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