Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente tem a equação:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial ordinária do primeiro grau e precisamos encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz essa equação e a condição inicial $ y(\pi) = 0 $. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar a derivada $ \frac{dy}{dx} $. Multiplicando ambos os lados por 2, temos:
Agora, nossa equação está na forma $ \frac{dy}{dx} = f(y)g(x) $, o que é perfeito para usar a separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os termos com $ x $ fiquem do outro.
Passo 3
Vamos separar as variáveis:
Aqui, dividimos ambos os lados por $ \sqrt{y + 1} $ e multiplicamos por $ dx $ para isolar $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro. Agora, temos uma expressão onde podemos integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
Para resolver a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição $ u = y + 1 $, então $ du = dy $. A integral fica:
No lado direito, a integral de $ 2 \cos x $ em relação a $ x $ é:
Portanto, após integrar ambos os lados, temos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação para resolver $ y $. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por 2:
Vamos simplificar a constante substituindo $ \frac{C}{2} $ por uma nova constante $ K $:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Então, isolando $ y $:
Passo 6
Precisamos determinar o valor da constante $ K $ usando a condição inicial $ y(\pi) = 0 $. Vamos substituir $ x = \pi $ e $ y = 0 $ na equação:
Sabemos que $ \sin \pi = 0 $, então:
Vamos considerar $ K = 1 $ para simplificar, já que a constante pode absorver o sinal.
Passo 7
Substituindo $ K = 1 $ na equação para $ y $:
Podemos expandir essa expressão:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: