Resolva as equações diferenciais abaixo:
e
. Represente o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma equação diferencial simples juntos! A questão é sobre encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação
com a condição inicial $ y(0) = 1 $. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente o de integrais, para resolver essa equação e depois representar o gráfico da função encontrada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação diferencial. Ela nos diz como a taxa de variação de $ y $ em relação a $ x $ (
) está relacionada com $ x $. Para encontrar $ y(x) $, precisamos “desfazer” essa derivada, ou seja, integrar a expressão do lado direito.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
Do lado esquerdo, a integral de
em relação a $ x $ é simplesmente $ y $:
Passo 4
Agora, vamos calcular as integrais:
Então, juntando tudo, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $ na equação:
Então, a constante $ C $ é igual a 1.
Passo 6
Substituindo o valor de $ C $ na expressão de $ y $, temos a solução completa da equação diferencial:
Resposta
A solução da equação diferencial
com a condição inicial $ y(0) = 1 $ é:
Para representar o gráfico, plote a função $ y(x) = \frac{x^{3}}{3} + x + 1 $, que é uma curva que cresce com $ x $ e passa pelo ponto (0, 1).