Resolva as equações diferenciais abaixo:
$\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=x y^{2}
$\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=x y^{2}
Passo 1
Resumo do enunciado: a equação diferencial é
Isso é uma equação de Bernoulli (grau n=2). Para resolver, vamos usar a teoria de equações de Bernoulli e transformar em uma equação linear com a substituição adequada.
Passo 2
Identificação dos parâmetros: na forma padrão de Bernoulli
vemos que
$$P(x)=\frac1x,\quad Q(x)=x,\quad n=2.
$$que deve reduzir a equação a uma forma linear.
Passo 3
Derivação da equação em u: como
$$u=y^{-1},\quad du/dx = -y^{-2},dy/dx,
\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}u = -x.
$$
Passo 4
Resolução da equação linear em u: o fator integrante é
$$\mu(x)=\exp\Bigl(\int -\tfrac{1}{x}dx\Bigr)=\frac{1}{x}.
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u}{x}\Bigr) = -1.
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u}{x}\Bigr) = -1.
$$
Passo 5
Retorno à variável original: como
, temos
$$y = \frac{1}{u} = \frac{1}{-x^2 + Cx} = \frac{1}{x,(C - x)}.
$$
Essa é a solução geral da equação de Bernoulli.
Essa é a solução geral da equação de Bernoulli.
Resposta
y = \frac{1}{Cx - x^2}