Resolva as equações diferenciais abaixo: (3,0)
$\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=x y^{2}

Passo 1

Resumo do enunciado: a equação diferencial é
dydx + 1x,y = x,y^2
Isso é uma equação de Bernoulli (grau n=2). Para resolver, vamos usar a teoria de equações de Bernoulli e transformar em uma equação linear com a substituição adequada.

Passo 2

Identificação dos parâmetros: na forma padrão de Bernoulli
dydx + P(x),y = Q(x),y^n
vemos que
$$P(x)=\frac1x,\quad Q(x)=x,\quad n=2.
P(x)=1x, Q(x)=x, n=2 çãu=y{1-n}=y{-1},
$$que deve reduzir a equação a uma forma linear.

Passo 3

Derivação da equação em u: como
$$u=y^{-1},\quad du/dx = -y^{-2},dy/dx,
u=y^-1, du/dx = -y^-2,dy/dx, ãdy/dx = -y^2,\frac{du}{dx}.
dy/dx = -y^2,dudx -\frac{du}{dx} + \frac{1}{x}u = x.
y^2áçã
\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}u = -x.
$$

Passo 4

Resolução da equação linear em u: o fator integrante é
$$\mu(x)=\exp\Bigl(\int -\tfrac{1}{x}dx\Bigr)=\frac{1}{x}.
mu(x)=expl(integral -tfrac1xdxr)=1x \frac{1}{x}\frac{du}{dx} - \frac{1}{x^2}u = -1
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u}{x}\Bigr) = -1.
mu\frac{u}{x} = -x + C \quad\Longrightarrow\quad u = -x^2 + Cx.
$$

Passo 5

Retorno à variável original: como u=y^-1, temos
$$y = \frac{1}{u} = \frac{1}{-x^2 + Cx} = \frac{1}{x,(C - x)}.
$$
Essa é a solução geral da equação de Bernoulli.

Resposta

y = \frac{1}{Cx - x^2}

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